Historia de la trisección de un ángulo

Historia de la trisección de un ángulo

Por :Cristina Marcos Segura

Hay tres problemas clásicos en las matemáticas griegas que tienen una influencia extrema en el desarrollo de la geometría. Estos son: cuadrar el círculo, duplicar el cubo y trisecar el ángulo.

Aunque todos ellos están íntimamente ligados, hemos elegido examinarlos en diferentes artículos. El presente artículo estudia el problema de trisecar un ángulo seleccionado arbitrariamente. De alguna manera, éste es el menos famoso de los tres problemas. Ciertamente, en la antigua Grecia el problema de duplicar el cubo era el más famoso, sin embargo, en tiempos modernos la cuadratura del círculo fue más famosa, especialmente entre los matemáticos amateurs.

El problema de la trisección de un ángulo arbitrario que examinamos aquí, es el problema por el cual a mí [EFR] me han enviado más pruebas fallidas durante mi carrera. Es una labor sencilla decir que la 'demostración'que a uno le han enviado que 'prueba' que la trisectriz de un ángulo cualquiera puede construirse con una regla y un compás, debe ser incorrecta, ya que no es posible su construcción. Desde luego, saber que una prueba es incorrecta y encontrar el error en ella son dos cuestiones diferentes y a menudo el error es sutil y difícil de encontrar.

Hay varias razones por las cuales la trisección del ángulo difiere de los otros problemas clásicos griegos. Primero, no hay una historia real que relate la manera cómo el problema llegó a ser estudiado por primera vez. Segundo, es un problema de otro carácter; no es posible cuadrar un círculo ni duplicar un cubo; sin embargo, sí es posible trisecar ciertos ángulos. Por ejemplo, hay un método muy directo para trisecar un ángulo recto. Dado el ángulo recto CAB dibujamos un círculo que corta AB en E. Dibujamos un segundo círculo (con el mismo radio) con el centro en E hasta que corta el primer círculo en D. Entonces DAE es un triángulo equilátero y el ángulo DAE es de 60° y DAC es de 30°. Ya tenemos el ángulo CAB trisecado.

Más sorprendentemente, ángulos como el de 27° pueden ser trisecados, ¿podrías resolver esto? El problema es igualmente trisecar un ángulo dado arbitrariamente y el objetivo es construirlo usando regla y compás (lo que resulta imposible) y, de no lograrlo, intentar encontrar un método para trisecar un ángulo cualquiera.

Pappo en su Colección Matemática escribe (ver por ejemplo [3]):

Cuando los antiguos geómetras quisieron dividir un ángulo recto en tres partes iguales se vieron perdidos. Decimos que existen tres tipos de problemas en Geometría, aquellos denominados 'planos', 'sólidos' y 'lineales'. Aquellos que pueden ser resueltos mediante el uso de líneas rectas y círculos son los apropiadamente denominados 'planos' porque las líneas mediante las cuales se solucionan tienen su origen en el plano. Los problemas que se solucionan utilizando una o más secciones del cono son los denominados problemas 'sólidos'. Para su construcción es necesario el uso de superficies de figuras sólidas, es decir, conos. Y nos queda el tercer tipo, los problemas llamados 'lineales'. Para la construcción de éstos es necesaria la construcción de curvas de un origen más variado y más forzado sacadas de superficies más irregulares y siguiendo procedimientos más complejos. De este estilo son las curvas descubiertas en los llamados 'lugares geométricos de superficie' y muchas más relacionadas… Estas curvas tienen muchas maravillosas propiedades. Escritores más recientes han considerado incluso a alguna de ellas digna de un estudio más amplio, una de ellas es la llamada 'curva paradójica' de Menelao. Otras curvas del mismo tipo son espirales, cuadratrices, cocloide¹ y cisoides… Como los problemas difieren entre sí, los primeros geómetras no fueron capaces de resolver el problema del ángulo que hemos mencionado porque es de naturaleza sólida; para ellos no eran familiares las secciones del cono y por ese motivo se vieron perdidos. Más tarde, sin embargo, trisecaron el ángulo mediante las cónicas, usando para la solución los medios que se describen a continuación…

Enseguida describiremos los métodos que se inventaron para resolver este problema pero antes que nada vamos a ver cómo el problema surgió de manera natural. Quizás el modo más obvio por el que uno puede llegar a dar con el problema sería examinando la construcción de la bisección de un ángulo con la regla y el compás. Esto es muy sencillo. Dado un ángulo CAB marcamos dos medidas iguales AB y AC. Completamos el paralelogramo CABD y dibujamos la diagonal AD que se puede ver fácilmente que bisecciona el ángulo CAB.

Seguramente los antiguos griegos se vieron en la necesidad de dividir ángulos en cualquier proporción para tener así la posibilidad de construir polígonos de cualquier número de caras. La construcción de polígonos regulares con regla y compás fue seguramente uno de los principales objetivos de los matemáticos griegos pero fue hasta que se produjeron los descubrimientos de Gauss que se construyeron con regla y compás algunos polígonos que los antiguos griegos no llegaron a descubrir.

Aunque es difícil determinar la fecha exacta del momento en el que el problema de trisecar un ángulo apareció por primera vez, sabemos que Hipócrates, quien hizo la primera aportación importante a los problemas de cuadrar un círculo y duplicar un ángulo, también estudió el problema de trisecar un ángulo. Hay un método muy directo para trisecar un ángulo que ya conocía Hipócrates.

Funciona de la siguiente manera. Dado un ángulo CAB dibujamos CD perpendicular a AB que corta este segmento en D. Completamos el rectángulo CDAF. Prolongamos FC hasta E y dibujamos la línea AE que corta CD en H. Determinaremos el punto E de manera que se cumpla que HE = 2AC. De esta forma el ángulo EAB es ¹/₃ del ángulo CAB.
Veamos que G es el punto medio de HEde manera que HG = GE = AC. Ya que ECH es un ángulo recto, CG = HG = GE. Así, el ángulo EAB = ángulo CEA = ángulo ECG. También como AC = CG tenemos el ángulo CAG = ángulo CGA. Pero el ángulo CGA = ángulo GEC + ángulo ECG = 2 × CEG = 2 × EAB como se solicitaba.

Una de las razones por las que el problema de trisecar un ángulo parece haber sido menos atrayente para los matemáticos griegos a la hora de publicar sus soluciones es que la construcción vista anteriormente, a pesar de no ser posible con un objeto recto sin marcar y un compás es, sin embargo, fácil de realizar en la práctica. Una solución de tipo mecánico es muy sencilla de encontrar. Marcamos una longitud de 2 × AC en el extremo derecho de la regla y la deslizamos con una marca en CD y la otra en FC prolongándola hasta que la regla define una recta que pase por A. Encontramos la trisectriz de esta manera mediante un proceso mecánico muy sencillo. Así que el problema, en la práctica, era sobradamente posible de resolver. Como los griegos no estaban en general satisfechos con las soluciones prácticas debido a un punto de vista puramente matemático, no fueron capaces de encontrarlas. Como dijo Platón:

Al proceder de un modo [mecánico], ¿no se pierde uno irremediablemente lo mejor de la geometría?…

Hay otra solución de tipo mecánico facilitada por Arquímedes. Bien podríamos calificarla de poco importante y decir que este método se explica ya en al trabajo arábico llamado Libro de Lemas atribuido a Arquímedes. Pero, ciertamente, este trabajo no es sólo una traducción del trabajo de Arquímedes ya que Arquímedes es citado muchas veces en el mismo, de manera que es imposible atribuirlo exclusivamente a él mismo. Sin embargo, muchos historiadores de las Matemáticas creen que muchos de los resultados dados en el Libro de Lemmas son también debidos a Arquímedes y que el resultado de trisecar un ángulo coincide tanto con el espíritu del libro Sobre las espirales que está ampliamente aceptada la idea de que este método sería también de Arquímedes. La construcción se realizaría de la siguiente manera:

Dado un ángulo CAB dibujamos un círculo con el centro en A de manera que AC y AB son radios del círculo. Desde C dibujamos una línea que corta la extensión de AB en E. Vemos que esta línea corta el círculo en F y tiene la propiedad que EF es igual al radio del círculo. De nuevo esto puede hacerse de forma mecánica marcando una longitud igual al radio del círculo en la regla y moviéndola teniendo una marca en la extensión de BA y la segunda marca en el círculo. Movemos la regla manteniendo una marca en la línea y otra en el círculo hasta que la línea pase por C. Entonces la línea EC ya está construida. Finalmente dibujamos desde A el radio AX del círculo con AX paralelo a EC. Así AX triseca el ángulo CAB.
Es bastante sencillo de ver. El ángulo XAC = ángulo ACF = ángulo CF = ángulo FEA + ángulo FAE = 2 × ángulo FEA = 2 × ángulo XAB.

Nicomedes vivió aproximadamente en el tiempo de Arquímedes (en el segundo siglo a.C.) y produjo su famosa curva concoide. De hecho, Nicomedes inventó precisamente esta curva para formalizar el proceso que hemos descrito de rotar una regla manteniendo un punto en una línea. La regla tiene una distancia fija marcada en sí misma y se mantiene una marca en una línea dada mientras los otros puntos definen una curva concoide. La construcción se explica con más detalle en la biografía de Nicomedes. Ésta es exactamente la curva necesaria para solucionar el problema de trisecar el ángulo mencionado anteriormente y es así como Nicomedes consiguió resolverlo. Sin embargo, en la práctica, el método de mover la regla, hasta que el procedimiento necesario fue encontrado, era en principio más sencillo que dibujar la concoide así que el método de Nicomedes fue de un interés más teórico que práctico. Heath escribe en [1]:

Pappo nos dice que las concoides, de hecho, en muchas ocasiones no se utilizaban ya que algunos, por conveniencia, movían la regla sobre un punto fijo hasta que se encontraba la intersección que cuadraba con la medida dada.

Pappo nos habla de la concoide de Nicomedes en su colección Matemática (ver [3] para ejemplo). En el mismo trabajo, Pappo escribe sobre cómo el problema de trisecar un ángulo fue resuelto por Apolonio usando las cónicas. Pappo da dos soluciones que tienen que involucran dibujar una hipérbola.

La primera muestra que si AB es una línea fija, entonces tenemos un punto geométrico P de manera que 2 × ángulo PAB = ángulo PBA es una hipérbola. La hipérbola tiene excentricidad 2, foco en B y su directriz es la perpendicular de la bisectriz AB. La hipérbola se muestra en la izquierda de los dos diagramas. El diagrama de la derecha muestra cómo la hipérbola puede usarse para trisecar el ángulo AOB.
Fijémonos en que, debido a la propiedad de la hipérbola vista anteriormente, 2 × ángulo PAB = ángulo PBA. Pero 2 × ángulo PAB = ángulo POB (el ángulo en el centro del círculo es dos veces el ángulo en la circunferencia que hay en el mismo arco) Así, 2 × ángulo POB = ángulo POA como se solicitaba.

Heath comenta en qué medida este pasaje de Pappo es interesante en relación con el desarrollo de las cónicas para los griegos. Escribe [1]:

El pasaje de Pappo del cual se extrae esta solución es digno de mención ya que es uno de los tres pasajes de las matemáticas griegas entre los trabajos aun existentes…que se refiere a la propiedad de la relación entre foco y directriz de las cónicas.

Estas construcciones descritas por Pappo muestran como los griegos 'mejoraron' sus soluciones al problema de trisecar un ángulo. Partiendo de una solución mecánica progresaron hacia una solución relacionada con las secciones cónicas. Nunca progresaron hacia las soluciones planas porque sabemos que son imposibles.

Las pruebas de esta imposibilidad tuvieron que esperar a las matemáticas del siglo XIX. Los últimos trozos del argumento fueron reunidos por Pierre Wantzel. En 1837 Wantzel publicó en el Journal de Liouville pruebas sobre:

[…] la manera de averiguar si un problema geométrico puede resolverse con una regla y un compás.

Gauss había afirmado que los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo no podían hacerse con una regla y un compás pero no lo demostró. En 1837 Wantztel fue el primero que probó esos resultados. Demostraciones mejoradas fueron proporcionadas más tarde por Charles Sturm pero tampoco las publicó.


Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía

1. T L Heath, A history of Greek mathematics I (Oxford, 1931).
   
2. I Thomas, Selections illustrating the history of Greek mathematics : Vol 1 (From Thales to Euclid) (London, 1967).
   
3. I Thomas, Greek mathematical works (London, 1939).
   
4. Chen, Tzer-lin Proof of the impossibility of trisecting an angle with Euclidean tools, Math. Mag. 39 (1966), 239-241.
   
5. J Delattre and R Bkouche, Why ruler and compass?, in History of Mathematics : History of Problems (Paris, 1997), 89-113.

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