Nació: el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, Suiza
Murió: el 16 de agosto de1705 en Basilea, Suiza

El padre de Jacob Bernoulli, Nicolaus Bernoulli (1623-1708) heredó en Basilea el negocio de especias que había establecido su padre, primero en Amsterdam y después en la capital suiza. La familia, de origen belga, eran refugiados que escaparon de los gobernantes españoles de Holanda. Felipe, Rey de España, había enviado al Duque de Alba a los Países Bajos en 1567 con un poderoso ejército para castigar a los opositores al gobierno español, reforzar su adhesión al catolicismo romano y para reestablecer la autoridad del propio monarca. Alba estableció el Tribunal de los Tumultos, una corte que condenó alrededor de 12000 personas, aunque la mayoría, como la familia Bernoulli, todos ellos protestantes, huyeron del país.

(N. del T. Para atajar las revueltas de 1566 Felipe II envió a D. Fernando Álvarez de Toledo, duque de Alba, a Bruselas el 22 de agosto de 1567. El 5 de septiembre, formaba el 'Tribunal de los Tumultos' o 'Tribunal de la sangre', que actuó con extraordinaria dureza, para juzgar a los revoltosos).

Nicolaus Bernoulli era un importante ciudadano de Basilea, miembro del consejo de la ciudad y magistrado. La madre de Jacob Bernoulli también procedía de una importante familia de Basilea de banqueros y consejeros locales. Jacob Bernoulli era el hermano de Johann Bernoulli y el tío de Daniel Bernoulli. Fue obligado a estudiar filosofía y teología por sus padres, a los que guardó resentimiento, y se graduó en la Universidad, de Basilea en filosofía en 1671 y en teología en 1676.

Durante el período de tiempo durante el que Jacob Bernoulli estuvo en la universidad estudió matemáticas y astronomía en contra del deseo de sus padres. Esto fue un comportamiento usual para muchos miembros de la familia Bernoulli que a pesar de ser obligados a hacer otra carrera también estudiarían matemáticas. Sin embargo Jacob Bernoulli fue el primero en hacerlo por lo que para él resultó muy diferente. Con posterioridad otros miembros de la familia se sintieron influidos por él y estudiaron matemáticas y física.

En 1676, tras conseguir la licenciatura en teología, Bernoulli se trasladó a Ginebra para trabajar como tutor. Después viajó a Francia donde pasó otros dos años estudiando con los discípulos de Descartes que estaban dirigidos por Malebranche. En 1681 Bernoulli viajó a Holanda dónde se encontró con otros matemáticos entre los que se incluía Hudde. Siguiendo sus estudios con los líderes matemáticos y científicos de Europa fue hasta Inglaterra donde, entre otros, encontró a Boyle y a Hooke. En ese momento estaba muy interesado en la astronomía y publicó un trabajo proporcionando una teoría errónea sobre los cometas. Como resultado de sus viajes, Bernoulli entabló correspondencia que prosiguió durante años con muchos matemáticos.

Jacob Bernoulli regresó a Suiza y enseñó mecánica en la Universidad de Basilea desde 1683, dando importantes lecciones sobre la mecánica de sólidos y líquidos. Aunque su formación era teológica y hubiera sido natural que se hubiera dedicado a la Iglesia, cuando se le ofreció un puesto en la curia, Bernoulli lo rechazó. Su pasión eran las matemáticas y la física teórica y en esos campos enseñaba e investigaba. Durante ese período estudió los grandes trabajos matemáticos de la época incluyendo la Geometría de Descartes y el material adicional de Van Schooten de la edición latina. Jacob Bernoulli también estudió los trabajos de Wallis y Barrow interesándose gracias a ellos en la geometría infinitesimal¹. Jacob comenzó a publicar en el diario Acta Eruditorum, establecido en Leipzig en 1682.

En 1684 se casó con Judith Stupanus. Tendrían dos hijos, un varón que se llamaría Nicolaus como su abuelo y una hija. Ninguno de los dos, al contrario que muchos de los miembros de la familia Bernoulli, llegaron a convertirse en matemáticos o físicos.

Uno de los acontecimientos más significativos en relación a los estudios matemáticos de Jacob Bernoulli sucedió cuando su hermano más pequeño, Johann Bernoulli, comenzó a trabajar en tópicos matemáticos. Johann estudió medicina aconsejado por su padre pero mientras estudiaba pidió a su hermano Jacob que le enseñara matemáticas. Jacob Bernoulli fue nombrado profesor de matemáticas en Basilea en 1687 y los dos hermanos comenzaron a estudiar cálculo como lo presentaba Leibniz en su escrito de 1684 sobre el cálculo diferencial Nova Methodus pro maximis et Minimis, itemque Tangentibus... publicado en el Acta Eruditorum. Estudiaron también las publicaciones de Von Tschirnhaus. Hay que aclarar que las publicaciones de Leibniz sobre el cálculo eran muy oscuras para los matemáticos de la época y los Bernoulli fueron los primeros en intentar comprender y aplicar las teorías de Leibniz.

Mientras Jacob y Johann trabajaban en problemas similares, sus relaciones pasaron de colaboradores a rivales. Las ostentaciones de Johann Bernoulli fueron la primera causa de los ataques de Jacob y éste escribió que Johann era su alumno y sus únicas virtudes eran las de repetir lo que su maestro le había enseñado. Por supuesto esta era una afirmación tremendamente injusta. Jacob continuó atacando a su hermano de manera desagradable, particularmente tras 1697. Sin embargo no lo hizo de forma pública. Era crítico con las autoridades universitarias de Basilea y eso, como podría esperarse, le colocaba en una mala situación frente a ellas. Probablemente sentía que Johann era el mejor matemático de los dos y, ello le hería ya que deseaba recibir aprobación desde todas las partes. Hofmann escribió en [1]:

Insensibilidad, irritabilidad y una pasión mutua por las críticas, unidas a una exagerada necesidad de reconocimiento alejó a los hermanos, de los que Jacob tenía el más lento pero a la vez más profundo intelecto.

Como queda sugerido con esta cita, los hermanos estaban igualmente empatados en su diatriba. A Johann le hubiera gustado el sillón de matemáticas en Basilea que poseía Jacob y realmente estaba resentido por tener que mudarse a Holanda en 1695. Este fue otro factor para su total ruptura de relaciones en 1697.

Por supuesto, la disputa entre los dos hermanos sobre quién podría obtener mayor reconocimiento resultaba particularmente estúpida en el sentido en que ambos hicieron importantes contribuciones en el ámbito matemático. Es imposible saber si esa rivalidad les condujo a mayores descubrimientos o si lo hubiera hecho la colaboración mutua. Ahora analizaremos algunos de las mayores contribuciones de Jacob Bernoulli como un importante estadio en el desarrollo de las matemáticas siguiendo el trabajo de Leibniz en el cálculo.

Las primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron unos documentos sobre los paralelismos entre la lógica y el álgebra publicados en 1685, un trabajo sobre probabilidad² en 1685 y otro sobre geometría en 1687. Sus resultados en geometría proporcionaron un sistema para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales con dos líneas perpendiculares.

Ya en 1689 había publicado importantes trabajos sobre las series infinitesimales y su ley sobre los grandes números en teoría de probabilidades. La interpretación de la probabilidad como frecuencia relativa dice que si un experimento se repite un gran número de veces, la frecuencia relativa con la ocurrirá un evento igualará a la probabilidad del evento. La ley de los grandes números es una interpretación matemática de este resultado. Jacob Bernoulli publicó cinco tratados sobre las series infinitesimales entre 1682 y 1704. Los dos primeros contenían muchos resultados, como el resultado fundamental de que ∑ (1/n) diverge, lo que Bernoulli pensaba era nuevo pero ya había sido demostrado por Mengoli 40 años antes. Bernoulli no pudo encontrar una forma cerrada para ∑ (1/n²) pero demostró que convergía a un límite finito menor que 2. Euler fue el primero en encontrar el sumatorio de estas series en 1737. Bernoulli también estudió las series exponenciales que procedían de examinar el interés compuesto.

En mayo de 1960, publicado en un documento de Acta Eruditorum, demostró que el problema de determinar el isocrono es equivalente a resolver una ecuación diferencial³ no lineal de primer orden. El isocrono, o curva de descenso constante, es la curva junto a la que una partícula descenderá bajo el efecto de la gravedad desde cualquier punto hasta el fondo en exactamente el mismo tiempo, sea cual sea el punto inicial. Había sido estudiado por Huygens en 1687 y por Leibniz en 1689. Tras encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió mediante lo que hoy llamamos separación de variables. El documento de Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, porque el término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación que hoy llamamos 'Ecuación de Bernoulli'

y' = p(x)y + q(x)yⁿ

y Hofmann describe esta parte de su trabajo como:

... prueba del cuidado y trabajo crítico de Bernoulli en las contribuciones a las matemáticas infinitesimales tanto contemporáneas como anteriores y de su perseverancia y capacidad analítica en el tratamiento de problemas especiales pertinentes, incluso los de naturaleza dinámico-mecánica.

Jacob Bernoulli también descubrió un método general para determinar la evoluta⁴ de una curva como envoltorio de sus círculos de curvatura. También examinó las curvas caústicas y en particular estudió estas curvas asociadas a la parábola⁵, la espiral logarítmica y las epicicloides alrededor de 1694. El lemniscato de Bernoulli fue concebido por primera vez por Jacob Bernoulli en 1694. En 1695 investigó el problema del puente colgante que busca el ángulo necesario para que la curvatura del cable mantenga siempre el equilibrio del puente colgante.

El trabajo más original de Jacob Bernoulli fue Ars Conjectandi publicado en Basilea en 1713, ocho años antes de su muerte,. El trabajo se hallaba incompleto en el momento de su muerte pero aun así es un documento de la mayor importancia dentro de la teoría de probabilidades. En el libro, Bernoulli revisó el trabajo de otros autores sobre la materia, en particular el de Van Schooten, Leibniz, y Prestet. Los números de Bernoulli⁶ aparecen en el libro como una continuación de series exponenciales. El autor proporcionaba muchos ejemplos sobre la probabilidad de ganar en varios juegos de azar. Hay pensamientos muy interesantes sobre lo que realmente significa la teoría de probabilidades [1]:

... la probabilidad como un grado mesurable de certeza; necesidad y azar; moral contra expectativas matemáticas; probabilidad a priori y a posteriori; expectativa de ganar cuando los jugadores están divididos de acuerdo a su dexteridad; examen de los argumentos posibles, su evaluación y su evaluación calculable; ley de los grandes números...

En [1] Hofmann recopila las contribuciones de Jacob Bernoulli como sigue:

Bernoulli permitió un gran avance en el álgebra, el cálculo infinitesimal, el cálculo de variaciones⁷, mecánica, teoría de series y teoría de probabilidades. Era obstinado, agresivo, vindicativo, lleno de sentimientos de inferioridad pero firmemente convencido de sus propias habilidades. Con todas estas características necesariamente tuvo que chocar con su hermano. Aunque éste ejerció una importante influencia en él.

Bernoulli fue uno de los promotores más significativos de los métodos formales del análisis profundo. La astucia y la elegancia se encuentran muy a menudo en su método de presentación y expresión, pero con un máximo de integridad.

Jacob Bernoulli continuó manteniendo la cátedra de matemáticas en Basilea hasta su muerte en 1705 en la que ésta pasó a su hermano Johann. Jacob había descubierto que las propiedades de la espiral logarítmica eran casi mágicas y había pedido que fuera grabada en su tumba junto a la inscripción latina Eadem Mutata Resurgo que significa 'Aunque cambiada, la misma resucito'.

(N. del T. En realidad la espiral logarítmica no fue grabada tal y como es en la tumba de Bernoulli, un error del cantero, ni esta frase se ha traducido correctamente. Se dice que significa 'Aunque cambiado, resucitaré' pero Bernoulli parece que se refería a la propia espiral y no a si mismo).


Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Glosario

1. Una infinitesimal es una cantidad pequeña arbitraria que los matemáticos antiguos necesitaron incorporar a sus teorías ya que no tenían una teoría de límites propiamente dicha. El cálculo infinitesimal es el cálculo diferencial e integral.
   
2. La teoría de probabilidad estudia los posibles resultados de eventos o sucesos aleatorios junto con su distribución. De hecho hay un debate importante sobre lo que significa probabilidad en la práctica. Algunos matemáticos la consideran una simple componente de una teoría abstracta mientras que otros le dan una interpretación basada en las frecuencias de ciertos resultados.
   
3. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra a las derivadas (de primer o mayor orden) de una o más funciones. Si la ecuación tiene solamente primeras derivadas, se le llama de primer orden, etc.
   Si la ecuación contiene derivadas elevadas a la potencia n entonces se dice que es de grado n. Las de grado uno se llaman lineales.
   Las ecuaciones que involucran a una sola variable se conocen como ecuaciones diferenciales ordinarias mientras que las que tienen más de una se llaman ecuaciones diferenciales parciales.
   
4. La evoluta de una curva es la envolvente de las normales a la curva. También puede considerarse como el lugar geométrico de los centros de curvatura.
   evoluta
   
5. Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco). También se puede definir usando coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x².
   
6. Los números de Bernoulli fueron definidos por Jacob Bernoulli en conexión con la evaluación de sumas que tienen la forma ∑i^k.
   
   La secuencia B₀, B₁, B₂, ... puede ser generada usando la fórmula x/(e^x - 1) = ∑(B_nxⁿ/n!
   aunque se usan distintas notaciones para ellos. Algunos de los primeros son: B₀ = 1, B₁ = -¹/₂, B₂ = -¹/₆, B₄ = -¹/₃₀, B₆ = ¹/₄₂, ... Aparecen en áreas muy diversas de las matemáticas incluyendo las expansiones en serie de tan(x), el Último teorema de Fermat, ...
   
7. El cálculo de variaciones es una generalización del cálculo. Trata de encontrar la trayectoria, curva, superficie, etc. para la cual una función dada tiene un valor estacionario (generalmente un máximo o mínimo).

Bibliografía

1. Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
   
2. Biografía en Encyclopaedia Britannica. (Disponible en la Web)
   
3. H Bernhard, The Bernoulli family, in H Wussing and W Arnold, Biographien bedeutender Mathematiker (Berlin, 1983).
   
4. J O Fleckenstein, Johann und Jacob Bernoulli (Basel, 1949).
   
5. V A Nikiforovskii, The great mathematicians Bernoulli (Russian), History of Science and Technology Nauka' (Moscow, 1984).
   
6. H J M Bos, The lemniscate of Bernoulli, in For Dirk Struik (Dordrecht, 1974), 3-14.
   
7. T Boswell, The brothers James and John Bernoulli on the parallelism between logic and algebra, Hist. Philos. Logic 11 (2) (1990), 173-184.
   
8. M de la Cinta Badillo, Jacobo Bernoulli (Spanish), Gaceta Mat. (1) 5 (1953), 103-105.
   
9. P Dietz, Die Ursprünge der Variationsrechnung bei Jakob Bernoulli, Verh. Naturf. Ges. Basel 70 (1959), 81-146.
   
10. G Fenaroli, The regularity of case in the 'Pars Quarta' of the 'Ars coniectandi' of Jacob Bernoulli, Physis - Riv. Internaz. Storia Sci. 20 (1-4) (1978), 147-153.
    
11. I Hacking, Jacques Bernoulli's 'Art of conjecturing', British J. Philos. Sci. 22 (1971), 209-229.
    
12. J E Hofmann, Über Jakob Bernoullis Beiträge zur Infinitesimalmathematik, Enseignement Math. (2) 2 (1956), 61-171.
    
13. C S Roero, Jakob Bernoulli, attentive student of the work of Archimedes : marginal notes to the edition of Barrow (Italian), Boll. Storia Sci. Mat. 3 (1) (1983), 77-125.
    
14. S M Stigler, The History of Statistics. The Measurement of Uncertainty before 1900 (Cambridge, Mass.-London, 1986), 63-.
    
15. E Sylla, Political, moral, and economic decisions and the origins of the mathematical theory of probability : the case of Jacob Bernoulli's 'The art of conjecturing', in Acting under uncertainty : multidisciplinary conceptions (Boston, MA, 1990), 19-44.
    
16. A P Yushkevich, The first edition of J Bernoulli's 'Ars conjectandi' (on the 300th anniversary of the law of large numbers (Russian), Voprosy Istor. Estestvoznan. i Tekhn. (4) (1987), 99-105.
    
17. A P Yushkevich, Nikolas Bernoulli and the publication of 'Ars conjectandi' by Jacob Bernoulli (Russian), Teor. Veroyatnost. i Primenen. 31 (2) (1986), 333-352.
    

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