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El último teorema de Fermat

Publicado por Covadonga Escandón Martínez | 17/05/2006
Fermat dejó un hermoso teorema escrito en una nota marginal, de tal importancia que ha llegado hasta nosotros quizá sin ser aún totalmente resuelto. Lo curioso es que Fermat no hizo casi nada más en matemáticas en toda su vida y que murió en 1665.
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive #1#Pierre de Fermat murió en 1665. Hoy pensamos en él como un especialista en teoría de números; de hecho pensamos en él como talvez el mejor que haya vivido. Por ello resulta sorprenderte descubrir que Fermat era de hecho abogado y solamente era un matemático aficionado. También resulta sorprendente que haya publicado solamente un artículo matemático en su vida y que haya sido un artículo anónimo escrito como apéndice al libro de un colega. Ya que Fermat se rehusó a publicar su trabajo, sus amigos temían que pronto sería olvidado a menos que hicieran algo al respecto. Su hijo Samuel se ocupó de recolectar las cartas de Fermat y otros artículos matemáticos, comentarios escritos en libros, etc. con el objetivo de publicar las ideas matemáticas de su padre. Fue de este modo que llegó a publicarse el famos 'Último Teorema'. Lo encontró Samuel escrito como una nota al margen en la copia de la Arithmetica de Diofanto que pertenecía a su padre. El Último Teorema de Fermat afirma que
xn + yn = zn
no tiene soluciones enteras para x, y y z cuando n < 2. Fermat escribió:
He descubierto una prueba verdaderamente extraordinaria pero este margen es demasiado pequeño para contenerla.
Casi sin duda Fermat escribió la nota al margen alrededor de 1630, cuando estudió por primera vez la Arithmetica de Diofanto. Sin embargo, bien puede ser que Fermat se haya dado cuenta que su prueba extraordinaria era incorrecta, ya que todos sus otros teoremas fueron afirmados y reafirmados en problemas-reto que Fermat envió a otros matemáticos. Aunque los casos especiales para n = 3 y n = 4 fueron formulados como retos (y Fermat sí sabía cómo probarlos) el teorema general nunca fue mencionado de nuevo por Fermat. De hecho, en toda la obra matemática que dejó Fermat solamente hay una demostración. Fermat prueba que el área de un triángulo rectángulo no pude ser un cuadrado. Esto claramente implica que un triángulo racional no puede ser un cuadrado racional. En símbolos, no existen enteros x, y, z que cumplan
x2 + y2 = z2
y que sean tales que xy/2 sea un cuadrado. De esto es fácil deducir el caso n = 4 del teorema de Fermat. Vale la pena hacer notar que a partir de este punto faltaba demostrar el Último Teorema de Fermat nada más para las n primas impares. Ya que si existieran enteros x, y, z tales que xn + yn = zn, entonces si n = pq,
(xq)p + (yq)p = (zq)p.
Euler le escribió a Goldbach el 4 de agosto de 1735 afirmando que tenía una demostración del Teorema de Fermat cuando n = 3. Sin embargo, su demostración en Algebra (1770) contiene una falacia y no es nada fácil dar una prueba alternativa del enunciado falso. Hay una forma directa de arreglar la demostración usando argumentos que aparecen en otras demostraciones de Euler así que puede ser razonable atribuirle el caso n = 3 a Euler. El error de Euler es interesante y hay que entenderlo para los siguientes desarrollos. Necesitaba encontrar cubos de la forma
p2 + 3q2
y Euler demuestra que, para cualquier a y b, si hacemos
p = a3 - 9ab2, q = 3(a2b - b3)
entonces
p2 + 3q2 = (a2 - 3b2)3.
Esto es verdadero pero después trata de demostrar que, si p2 + 3q2 es un cubo, entonces existen una a y una b tales que p y q son como arriba. Su método es imaginativo, calculando con números de la forma a + b√-3. Sin embargo, los números que tienen esta forma no se comportan del mismo modo que los enteros, de lo cual Euler parece no haberse dado cuenta. El siguiente adelanto importante lo hizo Sophie Germain. Un caso especial dice que si n y 2n + 1 son primos, entonces xn + yn = zn implica que una de x, y o z es divisible entre n. Entonces el Último Teorema de Fermat se divide en dos casos.
Caso 1: Ni x, ni y, ni z son divisibles entre n. Caso 2: Una y solo una de x, y o z es divisible entre n.
Sophie Germain demostró el Caso 1 del Último Teorema de Fermat para toda n menor a 100 y Legendre extendió sus métodos para todos los números menores a 197. Hasta ese punto, el Caso 2 no se había demostrado ni siquiera para n = 5 así que quedó claro que el Caso 2 era en el que había que concentrarse. Ahora bien, el Caso 2 para n = 5 se divide a su vez en dos. Una de x, y o z es par y una de ellas es divisible entre 5. El Caso 2(i) es en el que el número divisible entre 5 es par; el Caso 2(ii) es en el que el número par y el que es divisible entre 5 son diferentes. El Caso 2(i) lo demostró Dirichlet y fue presentado a la Academia de Ciencias de París en Julio de 1825. Legendre pudo probar el Caso 2(ii) y la demostración completa para n fue publicada en septiembre de 1825. De hecho, Dirichlet pudo completar su propia demostración del caso para n = 5 con un argumento para el Caso 2(ii) que es una extensión de su propio argumento para el Caso 2(i). En 1832, Dirichlet publicó una demostración para el último teorema de Fermat cuando n = 14. Claro que estaba tratando de demostrar el caso n = 7 pero había demostrado un resultado más débil. El caso n = 7 fue finalmente resuelto por Lamé en 1839. Mostraba por qué Dirichlet había tenido tanta dificultad ya que, aunque en la prueba de Dirichlet para n = 14 se usaban argumentos similares (pero computacionalmente mucho más difíciles) a los casos anteriores, Lamé tuvo que introducir algunos métodos totalmente nuevos. La demostración de Lamé es extremadamente difícil y hace parecer como que progresar a n más grandes sería casi imposible sin formas de pensar radicalmente novedosas. El año 1847 es de gran importancia en el estudio del Último teorema de Fermat. El 1 de marzo de ese año, Lamé anunció a la Academia de París que había demostrado el Último teorema de Fermat. Esbozó una prueba que involucraba factorizar xn + yn = zn en factores lineales de números complejos. Lamé aceptaba que la idea le había sido sugerida por Liouvilli. Sin embargo, Liouville se dirigió a los asistentes después que Lamé y sugirió que el problema con este acercamiento era que se necesitaba una factorización única en primos para estos número complejos y dudaba que fuera cierta. Cauchy apoyó a Lamé pero, en su típica manera, apuntó que había reportado a la reunión de la Academia en octubre de 1847 una idea que creía que podría demostrar el Último teorema de Fermat. Mucho trabajo se llevó a cabo durante las siguientes semanas tratando de demostrar que la factorización era única. Wantzel afirmó haberla probado el 15 de marzo pero su argumento
Es verdadero para n = 2, n =3 y n =4 y uno puede ver fácilmente que lo mismo aplica para n > 4
era un tanto ingenuo. [Wantzel estaba en lo correcto sobre n = 2 (enteros ordinarios), n = 3 (el argumento sobre el que Euler estaba equivocado) y n = 4 (que fue demostrado por Gauss).] El 24 de mayo, Liouville leyó una carta a la Academia la cual resolvió la discusión. La carta era de Kummer y traía adjunto una separata de un artículo de 1844 que demostraba que fallaba la factorización única pero que podía 'recuperarse' con la introducción de números complejos ideales, lo cual había hecho en 1846. Kummer había usado su nueva teoría para encontrar condiciones bajo las cuales un primo es regular y había demostrado el Último teorema de Fermat para los primos regulares. Kummer también decía en su carta que creía que el 37 no cumplía con sus condiciones. Para septiembre de 1847, Kummer envió a Dirichlet y a la Academia de Berlín un artículo en el que probaba que un primo p es regular (y que entonces cumple con el último teorema de Fermat) si p no divide a los numeradores de ninguno de los números de Bernoullin B2, B4, ..., Bp-3. El número de Bernoulli Bn se define como
x/(ex - 1) = Bn xn/n!
Kummer demuestra que todos los primos menores a 37 son regulares pero el 37 no lo es ya que divide al numerador de B32. Los únicos primos menores a 100 que nos son regulares son 37, 59 y 67. Se usaron técnicas más fuertes para demostrar el último teorema de Fermat para estos números. Este trabajo fue hecho y continuado para números más grandes por Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwängler, Vandiver y otros. Aunque se esperaba que el número de primos regulares fuera infinito, probarlo también era un reto. En 1915 Jensen demostró que el número de primos irregulares es infinito. A pesar de que se ofrecían cuantiosos premios por una solución, el último teorema de Fermat seguía sin ser demostrado. Tiene el dudoso honor de ser el teorema con el mayor número de pruebas falsas publicadas. Por ejemplo, más de mil demostraciones falsas fueron publicadas entre 1908 y 1912. El único progreso positivo parecía ser los resultados computacionales que mostraban simplemente que cualquier contraejemplo sería muy grande. Usando técnicas basadas en el trabajo de Kummer, hasta 1993 se había demostrado que el teorema es verdadero para n hasta 4 000 000. En 1983 una contribución mayor vino de Gerd Faltings quien demostró que para toda n > 2, hay a lo más un número finito de enteros x, y, z primos entre sí para los cuales xn + yn = zn. Esto fue un gran paso pero no era probable que siguiera una prueba de que el número finito era 0 para todos los casos extendiendo los argumentos de Faltings. El último capítulo de la historia empezó en 1955, aunque en aquel entonces no se pensaba que el trabajo estuviera conectado al último teorema de Fermat. Yutaka Taniyama hizo algunas preguntas sobre curvas elípticas, es decir, curvas que tienen la forma y2 = x3 + ax = b para a y b constantes. Trabajos adicionales de Weil y Shimura produjeron una conjetura, conocida ahora como la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil. En 1986, Frey, en Saarbrücken, hizo la conexión entre esta Conjetura y el último teorema al mostrar que dicho teorema estaba lejos de ser una curiosidad poco importante de la teoría de números sino que de hecho estaba relacionado con las propiedades fundamentales del espacio. Trabajos de otros matemáticos demostraron que un contraejemplo al último teorema de Fermat daría un contraejemplo a la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil. La demostración del último teorema de Fermat fue completada en 1993 por Andrew Wiles, un matemático británico que trabajaba en la universidad de Princeton en Estados Unidos. Wiles dio una serie de tres pláticas en el Instituto Isaac Newton de Cambridge, Inglaterra, la primera de ellas el lunes 21 de junio, la segunda el martes 22. El la última plática, el miércoles 23 de junio de 1993, alrededor de las 10:30 de la mañana, Wiles anunció su demostración del último teorema de Fermat como un corolario de sus resultados principales. Después de escribir el teorema en el pizarrón, dijo me detendré aquí y se sentó. De hecho, Wiles había demostrado la Conjetura Shimura-Taniyama-Weil para una clase de ejemplos, incluyendo aquellos necesarios para probar el último teorema de Fermat. Esto, sin embargo, no es el final de la historia. El 4 de diciembre de 1993, Andrew Wiles hizo una declaración en vista de la especulación. Explicó que durante el proceso de revisión habían surgido algunos problemas, la mayoría de los cuales ya había sido resuelta. No obstante, quedaba un problema y Wiles esencialmente retiró su reivindicación de la demostración. Declaró que
La reducción clave de (casi todos los casos de) la Conjetura Taniyama-Shimura a calcular el grupo de Selmer es correcta. Sin embargo el cálculo final de una cota superior precisa para el grupo de Selmer en el caso semicuadrado (de la representación simétrica cuadrada asociada a una forma modular) no está completado aún. Creo que podré terminarlo en el futuro próximo usando las ideas explicadas en mis pláticas en Cambridge.
En marzo de 1994, Faltings, escribiendo en la revista Scientific American, dijo
Si fuera fácil, lo habría resuelto ya. Estrictamente hablando, no era una demostración cuando fue anunciada.
Weil escribió, también en Scientific American, que
Creo que él ha tenido algunas buenas ideas al tratar de construir la demostración pero no la tiene. En cierta medida, demostrar el teorema de Fermat es como escalar el Everest. Si un hombre desea escalarlo pero se queda a cien yardas, no habrá escalado el Everest.
De hecho, desde principios de 1994, Wiles comenzó a trabajar con Richard Taylor en un intento de rellenar los hoyos. Sin embargo decidieron que uno de los pasos claves en la demostración, que usa métodos desarrollados por Flach, no funcionaba. Intentaron un nuevo acercamiento también carente de éxito. En agosto de 1994, Wiles se dirigió al Congreso Internacional de Matemáticos pero no había logrado resolver las dificultades. Taylor sugirió un último intento de extender el método de Flach en la manera necesaria y Wiles, aunque convencido de que no funcionaría, aceptó, principalmente para tener oportunidad de convencer a Taylor de que nunca serviría. Wiles trabajó en ello durante un par de semanas y la inspiración le llegó súbitamente.
En un destello vi que lo que el impedía funcionar [la extensión del método de Flach] era algo que haría servir otro método que había intentado previamente.
El 6 de octubre, Wiles envió la nueva prueba a tres colegas, incluyendo a Faltings. A todos les gustó la nueva demostración que era mucho más simple que la anterior. Faltings envió una simplificación de un pedazo de la prueba. Ninguna prueba tan compleja como ésta puede garantizarse que sea correcta, así que una pequeña duda se mantendrá por algún tiempo. Sin embargo, cuando Taylor dio una plática ante el Coloquio Británico de Matemáticas en Edimburgo en abril de 1995, dio la impresión de que ya no quedan realmente dudas sobre el último teorema de Fermat. Bibliografía
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