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Biografía de Diofanto de Alejandría

Por :Liberto Brun Compte

Diofanto, a menudo conocido como el \'padre del álgebra\', es mejor conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los números.

Nacimiento: alrededor del 200 d.C.
Murió: alrededor del 284 d.C.

Sin embargo, esencialmente no se sabe nada de su vida y ha existido mucho debate respecto de la fecha en que vivió.

Existen pocos límites que pueden colocarse en las fechas de la vida de Diofanto. Por una parte, Diofanto cita la definición de un número poligonal¹ a partir del trabajo de Hipsicles, de modo que debe haber escrito esto después del 150 a.C. Por la otra, Teón de Alejandría, el padre de Hipatia, cita una de las definiciones de Diofanto, lo cual significa que Diofanto lo escribió antes del 350 d.C. Sin embargo, esto nos deja un lapso de 500 años, de modo que no hemos estrechado en demasía las fechas de Diofanto con estos datos informativos.

Existe otra información que había sido aceptada durante muchos años al respecto para dar fechas más aproximadas. Heath [3] cita de una carta de Michael Psellus quien vivió en la última mitad del siglo XI. Psellus escribió (traducción de Heath en [3]):

Diofanto la manejaba más [la aritmética Egipcia] acertadamente, pero el instruido Anatolio reunía las partes más esenciales de la doctrina según lo mencionaba Diofanto de una manera distinta y de una forma más sucinta, dedicando su trabajo a Diofanto.

Psellus también describe en su carta el hecho que Diofanto dio diferentes nombres a potencias de lo desconocido de las que dieron los Egipcios. Esta carta fue publicada inicialmente por Paul Tannery en [7] y en ese trabajo comenta que él cree que Psellus está citando a partir de un comentario sobre Diofanto que se encuentra perdido en la actualidad y que posiblemente fuese escrito por Hipatia.

Sin embargo, la cita mencionada más arriba ha sido utilizada para fechar a Diofanto usando la teoría de que el Anatolio al que se refería aquí, es el obispo de Laodicea que fue un escritor y maestro de matemáticas que vivió en siglo tercero. A partir de esto se dedujo que Diofanto escribió alrededor del 250 d.C. y las fechas que hemos mencionado se han basado en este argumento.

Sin embargo, Knorr en [16] critica esta interpretación:

Pero uno sospecha inmediatamente que algo está incorrecto: es peculiar que alguien recopile una condensación del trabajo de otra persona y después se lo dedique, mientras que la condición 'de manera diferente', es vacua en sí misma, debería ser redundante, en vista de los términos 'lo más esencial' y 'más sucinta'.

Knorr ofrece una traducción diferente del mismo pasaje (dando muestras de lo difícil que es el estudio de las matemáticas Griegas para cualquiera que no sea un experto en Griego clásico) que tiene un significado notoriamente distinto:

Diofanto procesaba [la aritmética Egipcia] más correctamente, pero el muy estudioso de Anatolio, habiendo recogido las partes más esenciales de la doctrina del hombre, la dirigió muy sucintamente a un Diofanto muy diferente.

La conclusión de Knorr referente a las fechas de Diofanto es [16]:

... debemos contemplar la posibilidad que Diofanto vivió antes del tercer siglo, posiblemente hasta más al principio de lo que Herón lo hizo en el primer siglo.

Las mayores detalles que tenemos sobre la vida de Diofanto (y pueden ser totalmente ficticios) provienen de la Antología Griega, recopilada por Metrodoro alrededor del 500 d.C. Esta colección de acertijos contiene uno acerca de Diofanto que dice:

... su infancia duró ¹/₆ de su vida; se casó después de otro ¹/₇ más; su barba creció después ¹/₁₂ más y su hijo nació 5 años después; el hijo vivió la mitad del los años del padre y el padre murió 4 años después del hijo.

De modo que se casó a la edad de 26 y tuvo un hijo que murió a la edad de 42, cuatro años antes de que el propio Diofanto muriese a la edad de 84 años.

La Aritmética es una colección de 130 problemas dando soluciones numéricas de determinadas ecuaciones (ésas con una solución única) y de ecuaciones indeterminadas. El método para resolver estas últimas es conocido como el análisis Diofantino². Se cree que sólo seis de los 13 libros originales se conservaron y también se cree que los otros deben haberse perdido muy pronto después de haber sido escritos. Existen muchas traducciones Arábigas, por ejemplo de Abu'l-Wafa, pero únicamente el material de estos seis libros apareció. Heath escribe en [4] en 1920:

Los libros faltantes evidentemente se perdieron en fechas muy tempranas. Paul Tannery sugiere que los comentarios de Hipatia solamente hacen referencia a los primeros seis libros, y que ella dejó sin tocar a los otros siete, los cuales, parte como consecuencia de esto, fueron olvidados y después se perdieron.

Sin embargo, un manuscrito en Árabe en la biblioteca Astan-i Quds (La biblioteca del Templo Sagrado) en Meshed, Irán lleva un título reivindicando y que es una traducción hecha por Qusta ibn Luqa, quien murió en el 912, de los libros IV al VII de Aritmética de Diofanto de Alejandría. F Sezgin hizo este notable descubrimiento en 1968. En [19] y [20] Rashed compara los cuatro libros en esta traducción al árabe con los seis libros Griegos conocidos y sostiene que este texto es una traducción de los libros perdidos de Diofanto. Rozenfeld, al estar revisando estos dos artículos, no se queda del todo convencido:

El revisor, familiarizado con el texto Árabe de este manuscrito, no duda que sea la traducción del texto Griego escrito en Alejandría pero la gran diferencia entre los libros griegos de la Aritmética de Diofanto, combinando preguntas de álgebra con preguntas profundas de la teoría de los números, y estos libros que solo contienen material algebraico, hacen que sea muy probable que este texto fuese escrito no solo por Diofanto, sino también por alguno de sus comentaristas (¿Hipatia quizá?)

Es el momento de dar una revisada a este excelente trabajo sobre álgebra en las matemáticas griegas. El trabajo abarca la solución de muchos problemas concernientes a las ecuaciones lineales y cuadráticas³, pero solo toma en cuenta soluciones positivas racionales⁴ para estos problemas. Las ecuaciones que conducirían a soluciones que son negativas o raíces cuadradas irracionales⁵ son consideradas como inútiles por Diofanto. Para dar un ejemplo específico, él denomina a la ecuación 4 = 4x + 20 'absurda' porque conduciría a una respuesta sin sentido. En otras palabras ¿cómo podría un problema llevarnos a una solución de -4 libros? No existen evidencias para sugerirnos que Diofanto comprendiese que una ecuación cuadrática podía tener dos soluciones. Sin embargo, el hecho de que siempre estaba satisfecho con una solución racional y no requería un número entero, es algo más sofisticado de lo que podríamos descubrir hoy día.

Diofanto consideró estos tres tipos de ecuaciones cuadráticas ax² + bx = c, ax² = bx + c y ax² + c = bx. La razón por la cual existen tres casos para Diofanto, mientras que hoy en día solo tenemos uno, es que él no tenía ninguna noción del cero y evitaba los coeficientes negativos considerando los números dados a, b, c como positivos todos ellos en cada uno de los tres casos mencionados.

Sin embargo existen muchos otros tipos de problemas tomados en consideración por Diofanto. Resolvió problemas como pares de ecuaciones cuadráticas simultáneas.

Consideremos y + z = 10, yz = 9. Diofanto resolvería esto creando una sola ecuación cuadrática en x. Pongamos 2x = y - z por tanto, agregando y + z = 10 y y - z = 2x, tenemos y = 5 + x, entonces restándolos nos da z = 5 - x. Ahora

9 = yz = (5 + x)(5 - x) = 25 - x², por tanto x² = 16, x = 4

lo que nos lleva a y = 9, z = 1.

En el Libro III, Diofanto resuelve problemas de encontrar valores que conformen dos expresiones lineales simultáneamente en cuadrados. Por ejemplo él enseña como encontrar x para resolver 10x + 9 y 5x + 4 ambos cuadrados (encuentra x=28). Otros problemas buscan valores de x tales que las clases particulares de polinomios en x hasta el grado 6 sean cuadrados. Por ejemplo él resuelve en el libro VI el problema de encontrar el valor de x tal que x³ - 3x² + 3x + 1 sea un cuadrado. Nuevamente en el libro VI resuelve problemas como el de encontrar x en los cuales simultáneamente 4x + 2 es un cubo y 2x+ 1 es un cuadrado (para lo cual encuentra fácilmente la respuesta que x = 3/2)

Otro tipo de problema que estudia Diofanto, esta vez en el libro IV, es encontrar potencias entre límites dados. Por ejemplo para encontrar el cuadrado entre 5/4 y 2 él multiplica ambos por 64, localiza el cuadrado de 100 entre 80 y 128, obteniendo así la solución 25/16 del problema original. En el libro V resuelve problemas tales como escribir 13 como la suma de dos cuadrados cada uno mayor que 6 (y da la solución 66049/10201 y 66564/10201) También escribe 10 como la suma de tres cuadrados mayores que 3, encontrando los tres cuadrados.

1745041/505521, 1651225/505521, 1658944/505521.

Heath se fija en los resultados de la teoría de números⁶ de la cual Diofanto estaba claramente consciente, aún así no está claro si tenía una prueba de ello. Por supuesto que estos resultados pueden haber sido demostrados en otros libros escritos por Diofanto o puede haber sentido que eran 'obviamente' verdaderos gracias a su evidencia experimental. Entre semejantes resultados tenemos [4]:

... ningún número de forma 4n + 3 o 4n - 1 puede ser la suma de dos cuadrados;

... un número de la forma 24n + 7 no puede ser la suma de 3 cuadrados.

También parece que Diofanto da la impresión de conocer que cada número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados. Si realmente conocía este resultado sería verdaderamente impresionante aún para el propio Fermat, quien especificó el resultado, falló el proporcionar pruebas de ello y no se estableció hasta que Lagrange lo demostró usando resultados de Euler.

Aunque Diofanto no uso anotaciones algebraicas sofisticadas, sí introdujo un simbolismo algebraico que utilizaba una abreviatura para lo desconocido y para las potencias de lo desconocido. Como escribe Vogel en [1]:

El simbolismo que introdujo Diofanto por primera vez y que sin duda lo obtuvo por sí mismo, suministraba una manera corta y fácilmente comprensible de expresar una ecuación... Como también se utiliza una abreviatura para la palabra 'igual a', Diofanto dio un paso fundamental del álgebra verbal hacia el álgebra simbólica.

Una cosa quedará clara por los ejemplos que hemos citado y es que Diofanto estaba preocupado con los problemas particulares más a menudo que con los métodos generales. La razón de esto es que a pesar de que hizo importantes avances en el simbolismo, aún le faltaba la notación necesaria para expresar métodos más generales. Por ejemplo, él únicamente tenía notación para una incógnita y cuando los problemas involucraban más de una simple incógnita, Diofanto se veía limitado a expresar 'primera incógnita', 'segunda incógnita', etc., en palabras. Tampoco tenía un símbolo para un número general n. En donde nosotros escribiríamos (12 + 6n)/(n² -3), Diofanto tenía que escribirlo con palabras:

... un número por un factor de seis aumentado más doce, el cual se divide por la diferencia entre el cuadrado del número menos tres.

A pesar de la anotación mejorada que introdujo Diofanto, el álgebra aún tenía un largo camino por delante antes de que los problemas verdaderamente de tipo general pudieran ser escritos y resueltos sucintamente.

Nos han sobrevivido fragmentos de otro de los libros de Diofanto sobre números poligonales, un tópico de gran interés para Pitágoras y sus seguidores. En [1] se menciona que este trabajo contiene:

...poco que sea original, [y] se ve diferenciado inmediatamente de la Aritmética por el uso de pruebas geométricas.

El mismo Diofanto hace referencia a otro trabajo que consiste de una colección de lemas⁷ denominados Los Porismos, pero este libro se encuentra perdido irremediablemente. Conocemos tres de estos elementos ya que Diofanto hace referencia de ellos en la Aritmética. Uno de estos lemas es que la diferencia de los cubos de dos números racionales es igual a la suma de los cubos de otros dos números racionales, i.e. dados dos números cualesquiera a y b entonces existen otros dos números c y d de tal forma que a³ - b³ = c³ + d³.

Otro trabajo superviviente, Preliminares a los elementos geométricos, que ha sido atribuido a Heron, ha sido estudiado recientemente en [16] donde se sugiere que su atribución a Heron es incorrecta y que el trabajo se debió a Diofanto. El autor del artículo [14] cree que puede haber identificado aún otro trabajo de Diofanto. Escribe:

Suponemos la existencia de un tratado teórico perdido de Diofanto, titulado 'Enseñanza de los elementos de la aritmética'. Nuestras pretensiones se basan en una anotación marginal de un comentador anónimo Bizantino.

Los matemáticos europeos no aprendieron las joyas en la Aritmética de Diofanto hasta que Regiomontanus escribió en 1463:

Nadie ha traducido aún del Griego al Latín los trece libros de Diofanto, en los cuales descansa escondida la verdadera flor de todas las matemáticas...

Bombelli tradujo mucho del trabajo en 1570 pero nunca se publicó. Bombelli tomó prestados muchos de los problemas de Diofanto para su propia Álgebra. La traducción latina más famosa de la Aritmética de Diofanto se debe a Bachet en el 1621 y es esa edición la que estudió Fermat. Ciertamente Fermat se inspiró en este trabajo que se ha vuelto famoso en años recientes debido a su conexión con el último teorema de Fermat⁸.

Comenzamos este artículo con el comentario que Diofanto es considerado muy a menudo como el 'padre del álgebra', pero no hay duda que muchos de los métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se remontan a las matemáticas Babilónicas. Por esta razón es que Vogel escribe [1]:

... Diofanto no fue, como se le ha llamado a menudo, el padre del álgebra. Aún así, su asombrosa, aunque no sistemática, colección de problemas indeterminados es un logro singular que no fue totalmente reconocido y que se desarrolló de forma más amplia mucho más tarde.

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive


Glosario

1. Un número poligonal es el número de puntos que pueden acomodarse en un polígono regular como, por ejemplo, los números triangulares (1, 3, 6, 10, ...) o los números cuadrados (1, 4, 9, 16, ...).
   
2. Una ecuación diofantina es aquella que tiene solamente coeficientes enteros y cuyas soluciones son también números enteros.
   
3. Una ecuación cuadrática es aquella en que la mayor potencia a la que está elevada la variable es 2. En general, ax² + bx + c = 0.
   
4. Un número racional es un número real que puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: ²/₅, 0.333333..., 2, 0.5, etc.
   
5. Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2.
   
6. La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.
   
7. Un lema es una proposición demostrada o aceptada para su uso inmediato en prueba de alguna otra proposición (teorema). No hay una distinción técnica entre lema y teorema, sino que es más bien arbitraria.
   
8. El último teorema de Fermat (llamado así por ser el último de los resultados que Fermat se atribuía pero no había sido demostrado) afirma que si n > 2, entonces la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene soluciones enteras positivas.

Bibliografía
1. Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
   
2. Biografía en Encyclopaedia Britannica.
   
3. T L Heath, Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra (New York, 1964).
   
4. T L Heath, A history of Greek mathematics 2 (Oxford, 1931).
   
7. P Tannery, Diophanti Alexandrini Opera omnia cum graecis commentariis (2 vols.) (Leipzig, 1893-95).
   
14. J Christianidis, 'Enseignement des éléments de l'arithmétique' : un traité perdu de Diophante d'Alexandrie?, Historia Math. 18 (3) (1991), 239-246.
    
15. K Joshi, Notes on Diophantus, Current Sci. 67 (12) (1994), 957-966.
    
16. W R Knorr, 'Arithmetike stoicheiosis' : on Diophantus and Hero of Alexandria, Historia Math. 20 (2) (1993), 180-192.
    
20. R Rashed, Les travaux perdus de Diophante. II, Rev. Hist. Sci. 28 (1975), 3-30.
    
21. E I Slavutin, Geometric interpretation of the methods for solving 'double equations' in Diophantus of Alexandria's 'Arithmetica' (Russian), Istor.-Mat. Issled. 26 (1982), 172-178.

Más referencias bibliográficas (25 libros/artículos)

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1. El último teorema de Fermat
   
2. Historia de la ecuación de Pell