Euclides, en Los Elementos, dice que la línea AB está dividida en razón de medios y extremos por C si AB:AC = AC:CB

Aunque Euclides no utiliza el término, llamaremos a esta relación la proporción áurea (o razón áurea). La definición aparece en el Libro VI, pero se da una construcción en el Libro II, Teorema 11, en referencia a áreas, que se resuelve dividiendo una línea en la proporción áurea. Además de construcciones para dividir una línea en la proporción áurea, Euclides proporciona aplicaciones, como la construcción de un pentágono regular, un icosaedro ¹ y un dodecaedro². Así se utiliza la relación áurea en la construcción de un pentágono.


Primero se construye un triángulo isósceles cuyos ángulos en la base son el doble que el ángulo del vértice. Esto se consigue tomando la línea AB y marcando C en la línea según la razón áurea. A continuación se dibuja una circunferencia con centro en A y radio AB. Se marca D sobre la circunferencia de modo que AC = CD = BD. El triángulo ABD tiene la propiedad de que los ángulos de su base son el doble que el del vértice.

Ahora, a partir de un triángulo como el ABD, se traza una circunferencia que pase por A, B y D. Después se traza la bisectriz del ángulo ADB, marcando E donde se corta con la circunferencia. Nótese que esta línea pasa por C, el punto que divide AB según la proporción áurea. De modo análogo se construye el punto F y se dibuja el pentágono AEBDF.

Por supuesto nadie cree que los Elementos de Euclides representen trabajo original, así que persiste la cuestión de quién estudió la proporción áurea antes que Euclides. Algunos historiadores creen que el Libro II de Los Elementos cubre material estudiado originalmente por Teodoro de Cyrene, mientras que otros atribuyen este material a Pitágoras, o, al menos, a los pitagóricos. Proclo, escribiendo en el siglo V d. de C., afirma:

Eudoxo (...) multiplicó el número de proposiciones al respecto de la sección que debían su origen a Platón, empleando el método de análisis para su resolución.

Muchos creen que por 'sección' Proclo se refiere a la 'proporción áurea'. Eudoxo sin duda asistió a conferencias de Platón, de modo que es del todo razonable que pudiera trabajar en temas sugeridos durante estas conferencias. Heath escribe en su edición de los Elementos de Euclides:

Esta idea de que Platón comenzó el estudio de [la proporción áurea] como tema por sí mismo no es de ningún modo inconsistente con la suposición de que el problema de Euclides II, 11 fuera resuelto por los pitagóricos.

Heath afirma más adelante en la misma obra que la construcción de un pentágono usando el método del triángulo isósceles antes descrito era conocida para los pitagóricos, así que hay considerable evidencia que sugiere que es allí donde comenzó el estudio de la proporción áurea.

Hipsicles, alrededor de 150 a. de C., escribió sobre los poliedros regulares. Él es el autor de lo que se ha denominado Libro XIV de los Elementos de Euclides, una obra que versa sobre la inscripción de sólidos regulares un una esfera. La relación áurea está entre estas construcciones.

Hasta este momento la proporción áurea parece haberse considerado una propiedad geométrica y no hay ningún signo obvio de que se intentase asociar un número con la relación. Por supuesto, si AB tiene longitud 1 y AC = x, donde C divide AB en la proporción áurea, entonces podemos usar álgebra sencilla para hallar x.

1/x = x/(1-x) da x^2 + X - 1 = 0 por lo tanto x = (√5 - 1)/2.
Entonces la relación áurea es 1/x = (√5 + 1)/2 = 1.6180339887498948482...

Herón comienza sin duda a calcular relaciones aproximadas, y en su obra da valores aproximados de la relación entre el área del pentágono y el área del cuadrado de uno de sus lados. Con Ptolomeo empiezan a calcularse las tablas trigonométricas, al menos en términos de cuerdas de arco. Calcula el lado de un pentágono regular en función del radio de la circunferencia circunscrita.

Con el desarrollo del álgebra por parte de los árabes uno esperaría hallar la ecuación cuadrática (o una relacionada) que vimos anteriormente. Al-Khwarizmi proporciona varios problemas sobre la división de una línea de longitud 10 en dos partes, y en uno de ellos halla una ecuación cuadrática para la longitud de la parte menor de la línea de longitud 10 dividida en la proporción áurea. No hay, sin embargo, mención de la proporción áurea, y no está claro si Al-Khwarizmi estaba pensando en este problema en particular.

Abu Kamil obtiene ecuaciones similares que resultan de dividir una línea de longitud 10 de varias maneras. Dos de ellas están relacionadas con la proporción áurea, pero de nuevo no está claro si Abu Kamil es consciente de ello. Sin embargo, cuando *Fibonacci* produjo el Liber Abaci utilizó muchas fuentes arábigas y una de ellas fueron los problemas de Abu Kamil. Fibonacci indica claramente que es consciente de la conexión entre los dos problemas de Abu Kamil y la proporción áurea. En el Liber Abaci da las longitudes de una línea de longitud 10 dividida en la relación áurea como √(125) - 5 y 15 - √(125).

Pacioli escribió Divina proporcione (Proporción divina), que es el nombre que él da a la relación áurea. El libro contiene pocas novedades sobre el tema: recopila resultados de Euclides y otras fuentes sobre la proporción áurea. Afirma (sin intentar probarlo ni proporcionar referencias) que la proporción áurea no puede ser racional. También reproduce el resultado dado en el Liber Abaci de las longitudes de los segmentos de una línea de longitud 10 dividida en la proporción áurea. Hay pocas novedades en el libro de Pacioli que solamente reformula (sin demostraciones, por lo general) resultados que habían sido publicados por otros autores. Por supuesto el título es interesante y Pacioli escribe:

(...) me parece que el título adecuado para este tratado debe ser Proporción Divina. Esto se debe a que hay un gran número de atributos similares que encontramos en nuestra proporción (todas ellas apropiadas para el mismo Dios) lo cual es objeto de nuestro utilísimo discurso.

Menciona cinco de estos atributos, de los que quizá el más interesante sea:

(...) al igual que Dios no puede ser definido completamente, ni puede entenderse con palabras, de igual manera esta proporción nuestra no puede ser designada por números inteligibles, ni se puede expresar por ninguna cantidad racional, sino que permanece siempre oculto y secreto, y es llamado irracional³ por los matemáticos.

Cardan, Bombelli y otros incluyeron en sus textos problemas sobre la búsqueda de la relación áurea usando ecuaciones cuadráticas. Un dato sorprendente se halla en una copia de la edición de 1509 de Pacioli de Los Elementos de Euclides. Alguien ha escrito una anotación que muestra claramente que sabía que la relación entre términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci⁴ tiende al número áureo. Expertos calígrafos fechan la nota a principios del siglo XVI, así que surge la intrigante cuestión de quién la escribió. Véase [6] para más detalles.

El primer cálculo conocido de la relación áurea en forma decimal se da en una carta escrita en 1597 por Michael Maestlin, en la universidad de Tübingen, a su antiguo alumno Kepler. Da el valor de 'aproximadamente 0,6180340' para la longitud del segmento más largo de una línea de longitud 1 dividida en la proporción áurea. El valor correcto es 0,61803398874989484821.... El sentimiento místico de la proporción áurea era por supuesto atractivo para Kepler, al igual que su relación con los sólidos regulares. Sus escritos sobre el tema son una mezcla de buenas matemáticas y magia. Él, al igual que el anotador del Euclides de Pacioli, sabe que la relación entre términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a la proporción áurea, y lo dice explícitamente en una carta que escribió en 1609.

El resultado de que los cocientes de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci tiende a la proporción áurea se atribuye habitualmente a Simson, quien dio el resultado en 1753. Acabamos de ver que no fue el primero en descubrirlo, y de hecho Albert Girard también lo descubrió independientemente de Kepler. Aparece en una publicación de 1634 que salió a la luz dos años después de la muerte de Albert Girard.

En este artículo hemos utilizado el término proporción áurea, pero ninguno de los matemáticos que hemos mencionado que contribuyeron a su desarrollo lo había utilizado. Comentamos que Proclo probablemente utilizó 'sección', aunque algunos historiadores discuten que esta referencia a sección se aplique a la relación áurea. El término común empleado por los primeros escritores era simplemente 'división en relación de medios y extremos'. Ciertamente, Pacioli introdujo el término 'proporción divina' y algunos escritores posteriores, como Ramus y Clavius, adoptaron este término. Clavius también utilizó el término 'dividido proporcionalmente' y expresiones similares aparecen en las obras de otros matemáticos. El término 'proporción continua' también se ha utilizado.

Los nombre usados ahora son proporción áurea, número áureo, sección áurea, razón áurea y relación áurea. Estos términos son modernos en el sentido de que fueron introducidos con posterioridad a todo el trabajo que hemos descrito hasta ahora. La primera utilización conocida del término aparece en una nota al pie en Die reine Elementar-Matematik de Martin Ohm (el hermano de Georg Simon Ohm):

También es habitual llamar esta división de una línea arbitraria en dos partes tales la sección áurea: a veces también se dice en este caso: la línea r está dividida en proporción continua.

La primera edición del libro de Martin Ohm apareció en 1826. La nota al pie que acabamos de mencionar no aparece en ella y el texto utiliza la expresión 'proporción continua'. Claramente en algún momento entre 1826 y 1835 el término 'sección áurea' empezó a utilizarse, pero su origen es un misterio. Resulta bastante evidente por el texto de la nota al pie de Ohm que el término 'sección áurea' no es suyo. Fowler, en [9], examina las pruebas y llega a la conclusión de que 1835 marca la primera aparición del término.

La proporción áurea ha sido famosa a lo largo de la historia por sus propiedades estéticas y se dice que la arquitectura de la antigua Grecia esta fuertemente influenciada por su uso. El artículo [11] pondera si la sección áurea es un fenómeno natural universal, hasta qué punto ha sido usado por arquitectos y pintores, y si tiene relación con la estética.

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Notas:

1. Un icosaedro es un poliedro regular con 20 caras, cada una de las cuales es un triángulo equilátero.
   
2. Un dodecaedro es un poliedro regular con 12 caras, cada una de las cuales es un pentágono regular.
   
3. Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2.
   
4. La secuencia de Fibonacci es la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... generada por la regla f₁ = f₂ = 1, f_n+1 = f_n + f_n-1. Fue presentada por primera vez por Fibonacci de Pise en Liber abaci en un problema sobre el crecimiento de una población de conejos.

Bibliografía (14 libros/artículos)

Libros

1. R Herz-Fischler, A mathematical history of division in extreme and mean ratio (Waterloo, Ontario, 1987).
   
2. R Herz-Fischler, A mathematical history of the golden number ( New York, 1998).
   Artículos
   
3. E Ackermann, The golden section, Amer. Math. Monthly 2 (1895), 260-264.
   
4. R Archibald, The golden section - Fibonacci series, Amer. Math. Monthly 25 (1918), 232-237.
   
5. F Campan, The golden section (Romanian), Revista Stiintifica 'V. Adamachi' 33 (1947). 225-231.
   
6. L Curchin and R Herz-Fischler, De quand date le premier rapprochement entre la suite de Fibonacci et la division en extrême et moyenne raison?, Centaurus 28 (2) (1985), 129-138.
   
7. R Fischler, On applications of the golden ratio in the visual arts, Leonardo 14 (1981), 31-32; 262-264; 349-351.
   
8. R Fischler, How to find the golden number without really trying, Fibonacci Quart. 19 (1981), 406-410.
   
9. D H Fowler, A generalization of the golden section, Fibonacci Quart. 20 (2) (1982), 146-158.
   
10. J Kappraff, The relationship between mathematics and mysticism of the golden mean through history, in Fivefold symmetry (River Edge, NJ, 1992), 33-65.
    
11. J Mawhin, Au carrefour des mathématiques, de la nature, de l'art et de l'ésotérisme: le nombre d'or, Rev. Questions Sci. 169 (2-3) (1998), 145-178.
    
12. G Sarton, When did the term golden section or its equivalent in other languages originate, Isis 42 (1951), 47.
    
13. A P Stakhov, The golden section in the measurement theory, in Symmetry 2: unifying human understanding, Part 2, Comput. Math. Appl. 17 (4-6) (1989), 613-638.
    
14. A J van Zanten, The golden ratio in the arts of painting, building and mathematics, Nieuw Arch. Wisk. (4) 17 (2) (1999), 229-245.