El Manuscrito Bakhshali

El manuscrito Bakhshali, es un temprano manuscrito matemático que fue descubierto hace unos 100 años. En un momento discutiremos el problema de datar este manuscrito, un tema muy controvertido, pero de momento discutiremos como fue descubierto. El periódico [8] describe este descubrimiento junto con la temprana historia del manuscrito. Gupta escribe:

El manuscrito Bakshali es el nombre dado al trabajo matemático escrito en una corteza de abedul y encontrado en el verano de 1881 cerca de la Villa de Bakhshali (o Bakhshala), en la subdivisión de Yusufzai en el distrito de Peshawar(ahora en Pakistán). La villa se encuentra en Mardan tahsil y esta situada a 81 kilómetros de la ciudad de Peshawar. Un inspector de la Policía llamado Mian An-Wan-Udin (en realidad un inquilino del mismo, descubrió el manuscrito mientras excavaba para quitar una roca ubicada en unas ruinas) entregó el manuscrito al asistente del comisionado de Mardan, quien lo pretendía llevar al Museo Lahore. Sin embargo, fue subsecuentemente enviado al Teniente Gobernador de Purjab quien, bajo ordenes del General A. Cunningham, lo entrego directamente al Dr. Rudolf Hoernle del Calcuta Madrasa para su estudio y publicación. El Dr. Hoernle presentó un resumen del M.B. ante la Sociedad Asiática de Benegal in 1882, y esta fue publicada en el Anticuario Indio en 1883. Dio un informe completo en la Séptima Conferencia Oriental realizada en Viena en 1886 y ésta fue publicada en sus actas. Una versión revisada de este documento apareció en el Anticuario Indio en 1888. En 1902, entregó el Manuscrito Bakhshali a la Biblioteca Bodleian, en Oxford, dónde continua hoy. (Marca de Anaquel: MS. Sansk. d. 14).

Gran parte del manuscrito has sido destruida y solo cerca de 70 páginas de corteza de abedul, unas pocas de las cuales eran solo desechos, han sobrevivido hasta el momento del descubrimiento. Con respecto a los argumentos acerca de su antigüedad, vemos que F. R. Hoernle, al que nos referimos en la cita de arriba, ubica el manuscrito Bakhshali entre los siglos III y IV d.C. Muchos otros historiadores y matemáticos como Moritz Cantor, F. Cajori, B. Datta, S N. Sen, A. K. Bag y R. C. Gupta concuerdan con este datado. Entre 1927-1933 el manuscrito Bakhshali fue editado por G. R. Kaye y publicado con una introducción exhaustiva, una traducción al inglés, junto con una copia transliterada del texto. Kaye alegó que el manuscrito databa del siglo XII d.C. E incluso dudaba que su origen fuera indio. Channabasappa da en [6] como fecha más probable el rango entre 200 - 400 d.C. En [5] el mismo autor identifica 5 términos matemáticos específicos que no aparecen en los trabajos de Aryabhata y argumenta que esto sostiene firmemente que el manuscrito Bakhshali es anterior al siglo V. Joseph en [3] sugiere que la evidencia apunta a que el:

[…] manuscrito sea, probablemente, una copia posterior de un documento realizado en las primeras centurias de la era cristiana.

L. V. Gurjar en [1] dice que el manuscrito no es posterior al 300 d. C. Por otra parte T. Hayashi en [2] alega que la fecha del original es probablemente del siglo VII, pero también establece que el manuscrito en si mismo es una copia realizada entre los siglos VIII y XII d. C. Yo (E. F. Robertson) creo que si uno sopesa toda la evidencia dada por estos expertos, la conclusión más compartida es que el manuscrito es una copia posterior de un trabajo anterior realizado alrededor del año 400 d. C. ¿Por qué creo que el manuscrito actual fue escrito más tarde? Bien, nuestro conocimiento actual de la escritura y cifras indias, data a los números utilizados en el manuscrito, como no utilizados antes del siglo IX o X. Para aceptar que este estilo de números existieron en el 400 d. C., debemos forzarnos a realizar un gran cambio en todo el concepto de la escala temporal de los descubrimientos de cifras indias. A veces, por supuesto, nos vemos forzados a serias reconsideraciones, pero sin evidencia que lo apoye, todo apunta a que el manuscrito es una copia realizada en el siglo X, de un original del 400 d. C. aproximadamente. A pesar de las afirmaciones de Kaye, es esencialmente certero que el manuscrito es indio. Lo atractivo de que el manuscrito Bakhshali esté datado en el 400 d. C. es que lo ubica justo antes del ‘Período Clásico’ de las matemáticas indias, que se comenzó con el trabajo de Aryabhata cerca del 500. Por lo que completa, entonces, el conocimiento que tenemos de las matemáticas indias, pues antes del descubrimiento del manuscrito, poseíamos muy poco conocimiento de las matemáticas indias datadas entre el 200 y 500 d. C. Esta datación lo convierte en un documento cercano al final del período matemático de Jaina y puede ser visto, en cierto sentido, como la huella de los logros de los Jainas. ¿Que contiene el manuscrito? Joseph escribe en [3]:

El manuscrito Bakhshali es un manual de reglas y ejemplos ilustrativos junto con sus soluciones. Está dedicado principalmente a la aritmética y al álgebra, con unos pocos problemas de geometría y medición. Solo algunas partes de él han sido restauradas, por lo que no tenemos certeza acerca del balance entre los diferentes tópicos.

La manera en que el manuscrito está grabado es un poco inusual para un documento indio, (lo que, por supuesto, lleva a que gente como Kaye prefiera hipotetizar que el manuscrito no es indio; una idea a la que no le vemos ninguna ventaja). El manuscrito Bakhshali expone una regla. Luego le sigue un ejemplo dado primero en palabras y luego utilizando notación matemática. Después da la solución del ejemplo y de la que sale, finalmente, la prueba. La notación utilizada no es diferente a la utilizada por Aryabhata pero tiene rasgos no encontrados en cualquier otro documento. Las fracciones no son distintas en notación a las utilizadas hoy, escritas con un número debajo de otro. Sin embargo, no aparecen líneas entre los números como lo escribimos hoy. Otra característica inusual es el signo + ubicado luego de un número para indicar un negativo. Es muy extraño ver nuestro signo de adición siendo usado como sustracción. Como ejemplo, así es como ³/₄ - ¹/₄ debía ser escrito.#1# Las fracciones compuestas eran escritas en tres líneas. Por tanto 1 más ¹/₃ debía ser escrito como #2# y 1 menos ¹/₃ = ²/₃ de la siguiente manera#3# Sumas de fracciones tales como ⁵/₁ más ²/₁ son escritas utilizando el símbolo yu ( de yuta)#4# Las divisiones están indicadas por bha, una abreviación de bhaga que significa ‘parte’. Por ejemplo#5# Las ecuaciones vienen dadas por un gran punto que representa la incógnita. Un aspecto confuso de la matemática India es que esta notación era usualmente utilizada para indicar el cero y a veces la misma notación para cero y la incógnita era utilizada en el mismo documento. Aquí tenemos un ejemplo de una ecuación que aparece en el manuscrito Bakhshali.#6# El método de la igualdad se encuentra en muchos tipos de problemas que aparecen el en manuscrito. Los problemas de este tipo que se encontraron en el manuscrito son examinados en [9] y algunos de ellos conducen a ecuaciones indeterminadas. Adjuntos hay problemas concernientes a la igualdad de riqueza, la posición de dos viajeros, salarios y compras por un número de comerciantes. Todos estos problemas pueden ser resueltos reduciéndose a una ecuación lineal con una incógnita o a un sistema lineal de n ecuaciones y n incógnitas. Para ilustrarlo damos este problema indeterminado el cual, por supuesto, no tiene una única solución:

Una persona posee siete caballos ‘asava’, otro nueve caballos ‘haya’ y otro diez camellos. Cada uno da dos animales, uno a cada persona. Quedando los tres con el mismo valor monetario. Encuentre el valor de cada animal y el valor total de los animales que posee cada persona.

La solución, traducida a notación moderna, es la siguiente: Buscamos soluciones naturales x₁, x₂, x₃, y k (dónde x₁ es el precio de un asava, x₂ es el precio de un haya, y x₃ es el precio de un camello) que satisfagan

5x₁ + x₂ + x₃ = x₁ + 7x₂ + x₃ = x₁ + x₂ + 8x₃ = k

Entonces 4x₁ = 6x₂ = 7x₃ = k - (x₁ + x₂ + x₃). Para soluciones naturales de k - (x₁ + x₂ + x₃) debe ser un múltiplo de los mínimos comunes múltiplos (mcm) de 4, 6 y 7. Ésta es la naturaleza indeterminada del problema y tomando diferentes múltiplos de los mcm obtendremos diferentes soluciones. El manuscrito Bakhshali toma k - (x₁ + x₂ + x₃) = 168 (esto es 4 × 6 ×7) obteniendo x₁ = 42, x₂ = 28, x₃ = 24. Entonces k = 262 es el valor total de los animales poseídos por cada persona. Esta no es la mínima solución natural que sería k = 131. Si utilizamos métodos modernos resolveríamos este sistema de 3 ecuaciones para x₁, x₂, x₃ en función de k para obtener

x₁ = 21k/131, x₂ = 14k/131, x₃ = 12k/131

por lo que obtenemos soluciones naturales tomando k = 131 que es la solución más pequeña. Ésta no está dada en el manuscrito Bakhshali pero el autor del manuscrito la hubiera obtenido tomando k - (x₁ + x₂ + x₃) = mcm(4, 6, 7) = 84. Aquí tenemos otro problema de ecuaciones tomado del manuscrito que tiene una única solución:

Dos pajes son sirvientes de un rey. Por sus servicios uno obtiene ¹³/₆ dinares por día y el otro ³/₂. El primero le debe al segundo 10 dinares. Calcula y dime cuándo poseerán cantidades iguales.

Resolveré esto diciendo que el primero obtiene ¹³/₆ = ²/₃ dinares más que el segundo cada día. Necesita 20 dinares más que el segundo para que le sea posible devolverle los 10 dinares adeudados y tener las mismas cantidades. Por tanto, se requieren 30 días, cuando ambos tendrán 13 × ³⁰/₆ - 10 = 55 dinares. Éste no es el método del manuscrito Bakhshali que utiliza la ‘regla de tres’. La regla de tres es la manera usual de resolver problemas del tipo: si un hombre gana 50 dinares en 8 días, cuánto ganará en 12 días. El manuscrito Bakhshali desarrolla la regla donde se escriben tres número

8 50 12

El 8 es el ‘pramana’, el 50 es el ‘phala’ y el 12 es el ‘iccha’. La regla, de acuerdo con el manuscrito Bakhshali, da la respuesta como:

phala × iccha/pramana

o, en el ejemplo, 50 × ¹²/₈ = 75 dinares. Aplicando esto al problema de los pajes obtenemos montos iguales para ambos pajes luego de n días dónde

13 × n/₆ = 3 × n/₂ +20

entonces n = 30 y cada uno tiene 13 × ³⁰/₆ - 10 = 55 dinares. Otra interesante pieza matemática en el manuscrito es la referente a las raíces cuadradas. La siguiente formula es utilizada:

√Q = √(A² + b) = A + b/2A - (b/2A - (b/2A)²/(2(A + b/2A))

Esto está explicado en el manuscrito como sigue:

En el caso de números no cuadrados, restar el número cuadrado más cercano, dividir el resto dos veces por este cuadrado cercano, la mitad cuadrada de este es dividida por la suma de la raíz aproximada y la fracción, se resta la misma y esto nos dará la raíz correcta.

Tomando Q = 41, entonces A = 6, b = 5 y obtenemos 6.403138528 como la aproximación de √41 = 6.403124237. Por tanto vemos que la formula del Bakhshali da un resultado correcto hasta el cuarto decimal. El manuscrito Bakhshali también utiliza la formula para calcular √105 dando 10.24695122 como la aproximación a √105 = 10.24695077. Esta vez la formula del Bakhshali da un resultado correcto en cinco decimales. Los siguientes ejemplos están también dados en el manuscrito Bakhshali dónde el autor aplica la fórmula para obtener raíces cuadradas aproximadas:

√487 La formula Bakhshali da 22.068076490965 La respuesta correcta es 22.068076490713 por lo que la primera es correcta a 9 decimales √889 La formula Bakhshali da 29.816105242176 La respuesta correcta es 29.8161030317511 por lo que la primera es correcta en 5 decimales [Nota: Si tomamos 889 = 30² - 11 en lugar de 29² + 48 obtendremos que la formula Bakhshali da 29.816103037078 La respuesta correcta es 29.8161030317511 por lo que la primera es correcta en 8 decimales] √339009 La formula Bakhshali da 582.2447938796899 La respuesta correcta es 582.2447938796876 por lo que la primera es correcta en 11 decimales

Es interesante notar que Channabasappa [6] deriva de la formula de la raíz cuadrada de Bakhshali un programa interactivo para aproximar raíces cuadradas. Encontró en [7] que es un 38% más rápido que el método de Newton’s para obtener la √41 con diez decimales. Artículo de: J J O’Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive Bibliografía

1. L V Gurjar, Ancient Indian Mathematics and Vedha (Poona, 1947).
2. T Hayashi, The Bakhshali manuscript : An ancient Indian mathematical treatise (Groningen, 1995).
3. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
4. C N Srinivasiengar, The history of ancient Indian mathematics (Calcutta, 1967).
5. M N Channabasappa, Mathematical terminology peculiar to the Bakhshali manuscript, Ganita Bharati 6 (1-4) (1984), 13-18.
6. M N Channabasappa, On the square root formula in the Bakhshali manuscript, Indian J. History Sci. 11 (2) (1976), 112-124.
7. M N Channabasappa, The Bakhshali square-root formula and high speed computation, Ganita Bharati 1 (3-4) (1979), 25-27.
8. R C Gupta, Centenary of Bakhshali manuscript’s discovery, Ganita Bharati 3 (3-4) (1981), 103-105.
9. R C Gupta, Some equalization problems from the Bakhshali manuscript, Indian J. Hist. Sci. 21 (1) (1986), 51-61.
10. R Sarkar, The Bakhshali manuscript, Ganita Bharati 4 (1-2) (1982), 50-55.

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Bakhshali_manuscript.html