Nacimiento: 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo, Rusia
Muerte: 6 de enero de 1918 en Halle, Alemania.
#1#El padre de Georg Cantor, Georg Waldemar Cantor, fue un exitoso comerciante, trabajó como agente de ventas en San Petersburgo y luego como agente de bolsa en la Bolsa de San Petersburgo. Georg Waldemar Cantor Nació en Dinamarca y fue un hombre con profundo amor por la cultura y las artes. La madre de Georg fue la también rusa y melómana Maria Anna Böhm. Ciertamente Georg heredó los considerables talentos musicales y artísticos de sus padres ya que fue un destacado violinista. Fue educado en el Protestantismo, religión de su padre, mientras su madre era Católica.
Luego de la educación elemental en casa, con un profesor privado, Cantor asistió a la escuela primaria en San Petersburgo. En 1856, cuando tenía once años, la familia se mudó a Alemania. Sin embargo, Cantor [21]:
recordaría sus primeros años en Rusia con gran nostalgia y nunca se sintió a gusto en Alemania, aunque vivió allí por el resto de su vida y aunque aparentemente nunca escribió en ruso, lengua que debía conocer.
La salud del padre de Cantor era precaria y el cambio a Alemania se hizo precisamente buscando un clima más cálido que los gélidos inviernos de San Petersburgo. Al principio la familia vivió en Wiesbaden, donde Cantor asistió al Gymnasium, luego se cambiaron a Frankfurt. Cantor estudió en el Colegio Real de Darmstadt, donde vivió pensionado. Se graduó en 1860 con una nota de estudiante sobresaliente, que hacía mención especial de sus excepcionales habilidades matemáticas, específicamente en trigonometría. Después de asistir a la Escuela de Ingeniería de Darmstadt a partir de 1860, ingresó al Politécnico de Zurich en 1862. La razón de que el padre de Cantor quisiera enviarlo a la Escuela de Ingeniería, era que él deseaba verlo convertido en:
… una brillante estrella en el firmamento de la ingeniería.
Sin embargo, en 1862 Cantor solicitó el permiso de su padre para estudiar matemáticas en la universidad y se sintió feliz cuando finalmente su padre aceptó. Sus estudios en Zurich, sin embargo, se truncaron al poco tiempo por la muerte de su padre en junio de 1863. Cantor se cambió a la Universidad de Berlín donde hizo amistad con Hermann Schwarz, un compañero de estudios. Cantor fue alumno de Weierstrass, Kummer y Kronecker. Pasó el verano de 1866 en la Universidad de Göttingen, y regresó a Berlín para terminar su disertación sobre teoría de números De aequationibus secundi gradus indeterminatis (Sobre las ecuaciones indeterminadas de segundo grado) en 1867.
Mientras estuvo en Berlín Cantor mantuvo una estrecha relación con la Sociedad Matemática, de la cual fue presidente en el periodo 1864-65. Al mismo tiempo era parte de un pequeño grupo de jóvenes matemáticos que tenían reuniones semanales en una hostería. Después de recibir su doctorado en 1867, Cantor enseñó en una escuela para niñas en Berlín. En 1868 se unió al Seminario Schellbach para profesores de Matemáticas. Durante este tiempo estuvo trabajando en su habilitación e inmediatamente después de ser nominado para Halle en 1869, presentó su tesis, nuevamente sobre teoría de números y recibió la habilitación.
En Halle las investigaciones de Cantor abandonaron la teoría de números y se enfocaron al análisis. El cambio se debió a Heine, un colega de Halle, quien retó a Cantor a probar el problema abierto sobre la unicidad de la representación de una función como una serie trigonométrica. Era éste un problema difícil que había sido infructuosamente atacado por muchos matemáticos, incluso Heine mismo, así como Dirichlet, Lipschitz y Riemann. Cantor resolvió el problema probando la unicidad de la representación por abril de 1870. Entre 1870 y 1872, publicó más artículos relacionados con series trigonométricas, en los cuales es notoria la influencia de las enseñanzas de Weierstrass.
Cantor fue promovido a Profesor Extraordinario en Halle en 1872, año en el que comenzó su amistad con Dedekind a quien había conocido durante unas vacaciones en Suiza. Cantor publicó un artículo sobre series trigonométricas en 1872, en el que definió a los números irracionales en términos de sucesiones convergentes de números racionales. También en 1872, Dedekind publicó su definición de números reales como ‘Cortaduras de Dedekind’, documento en el que hace referencia al artículo de Cantor de 1872, que el mismo Cantor le había enviado.
En 1873 Cantor probó que los números racionales son numerables, es decir, que pueden colocarse en correspondencia uno-a-uno con los números naturales. También mostró que los números algebraicos, es decir, los números que son raíces de ecuaciones polinomiales con coeficientes enteros, son numerables. Sin embargo, sus intentos por decidir si los números reales eran numerables, le hacían ver que se trataba de un problema más difícil. Cantor pudo probar que los números reales no son numerables hasta diciembre de 1873. publicó este resultado en un documento en 1874. Es en este documento donde aparece por primera vez la idea de una correspondencia uno-a-uno, aunque sólo de manera implícita.
Un número trascendente es un número irracional que no es raíz de ninguna ecuación polinomial con coeficientes enteros. Liouville estableció, en 1851, la existencia de los números trascendentes. Veinte años después, en su trabajo de 1874, Cantor mostró que en cierto sentido ‘casi todos’ los números son trascendentes al comprobar que los números reales son no numerables, mientras que los números algebraicos sí lo son.
Cantor siguió adelante, intercambiando profusa correspondencia con Dedekind. La siguiente pregunta que se hizo él mismo, en enero de 1874, fue si los puntos de un cuadrado unitario podrían ponerse en correspondencia uno a uno con los puntos de una línea de longitud uno. En una carta a Dedekind fechada el 5 de enero de 1874 escribió [1]:
¿Puede una superficie (digamos un cuadrado que incluye su frontera) ser de manera única reducido a una línea (digamos un segmento de recta que incluya sus extremos), de tal forma que para cualquier punto sobre la superficie haya un punto correspondiente sobre la línea, y recíprocamente, para cualquier punto de la línea haya un punto correspondiente de la superficie? Creo que responder esta pregunta no es tarea fácil, a pesar de que la respuesta parece ser ‘no’ tan claramente, que demostrarlo parece casi innecesario.
El año de 1874 fue un año importante en la vida personal de Cantor, en la primavera se comprometió con Vally Guttmann, una amiga de su hermana. Se casaron el 9 de agosto de 1874 y se fueron de luna de miel a Interlaken en Suiza, donde Cantor pasó mucho tiempo en discusiones matemáticas con Dedekind. Cantor continuó su contacto con Dedekind; compartía con él sus ideas y buscaba su opinión. Una carta para él en 1877 contiene la demostración de que hay una correspondencia uno a uno entre los puntos del intervalo [0, 1] y los puntos en un espacio p-dimensional. Cantor mismo estaba tan sorprendido con su descubrimiento que escribió:
¡Lo veo, y no lo creo!
Por supuesto que este resultado tenía implicaciones geométricas y para la noción de dimensión de un espacio. Un vasto artículo sobre dimensiones que Cantor envió al Journal de Crelle en 1877 fue tomado con cierto recelo por parte de Kronecker y no se publicó sino hasta que intervino Dedekind a su favor. Cantor quedó muy resentido con la oposición de Kronecker y nunca volvió a enviar nada al Journal de Crelle.
El documento sobre dimensiones que apareció en el Journal de Crelle en 1878, establece el concepto preciso de correspondencia uno a uno. Analiza los conjuntos numerables, es decir, aquellos que están en correspondencia uno a uno con los números naturales. Estudia los conjuntos de igual potencia (los que están en correspondencia biunívoca el uno con el otro. También analiza el concepto de dimensión y enfatiza el hecho de que su correspondencia entre el intervalo [0, 1] y el cuadrado unitario no era un mapeo continuo.
Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis artículos en el Mathematische Annalen (Anales Matemáticos) diseñados para dar una introducción básica a la teoría de conjuntos. Es probable que Klein tuviera mucho que ver en que el Mathematische Annalen los publicara. Sin embargo, hubo una gran cantidad de problemas para Cantor durante esos años. Aunque gracias a una recomendación de Heine había sido promovido a profesor de tiempo completo en 1879, Cantor deseaba una cátedra en una Universidad más prestigiosa. Su prolongada correspondencia con Schwarz terminó en 1880, conforme la oposición a las ideas de Cantor siguió creciendo y Schwarz no estuvo dispuesto a apoyar la dirección que el trabajo de Cantor tomaba. Luego, en octubre de 1881 murió Heine y fue necesario un reemplazo para su cátedra en Halle.
Cantor elaboró una lista de tres matemáticos para ocupar la cátedra de Heine y la lista fue aprobada. En ella estaba Dedekind en primer lugar, seguido de Heinrich Weber y luego Mertens. Ciertamente para Cantor fue un duro golpe el que Dedekind declinara el ofrecimiento a principios de 1882 y más duro fue aún el que Heinrich Weber y Mertens declinaran también. Después de que se hizo una nueva lista, en ella apareció Wangerin, quien nunca tuvo una relación estrecha con Cantor. La rica correspondencia matemática entre Cantor y Dedekind termino más tarde en 1882.
Casi al mismo tiempo en que terminó la correspondencia entre Cantor y Dedekind. Cantor inició otro importante intercambio postal con Mittag-Leffler. Pronto Cantor estaba publicando, en la revista de Mittag-Leffler, las Acta Matemática, pero su importante serie de seis documentos siguió apareciendo en Mathematische Annalen.El quinto documento de esta serie Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (Fundamentos para una Teoría General de Variedades) se publicó también como una monografía separada y fue especialmente importante por varias razones. En primer lugar Cantor se dio cuenta de que su teoría de conjuntos no encontraba la aceptación que él había esperado y los Fundamentos fueron diseñados para responder a las críticas. En segundo lugar [3]:
El mayor logro de los Fundamentos fue la presentación de los números transfinitos como una extensión autónoma y sistemática de los números naturales.
Cantor mismo estableció muy claramente en el documento que se daba cuenta de la fuerte oposición a sus ideas:
… me doy cuenta de que en esta empresa me encuentro enfrentado al punto de vista ampliamente manejado respecto al infinito matemático y a las opiniones frecuentemente defendidas acerca de la naturaleza de los números.
A fines de mayo de 1884 Cantor tuvo su primer ataque registrado de depresión. Se recuperó después de unas cuantas semanas pero ahora parecía menos confiado. Le escribió a Mittag-Leffler a fines de junio [3]:
… no sé cuándo regresaré a continuar mi trabajo científico. Por el momento no puedo hacer absolutamente nada por él, me limito al trabajo más esencial de mis clases; cuán feliz sería de tener actividad científica, si tan sólo tuviera la frescura mental necesaria.
Alguna vez pensó que su depresión era ocasionada por las tribulaciones matemáticas y particularmente como resultado de sus difíciles relaciones con Kronecker. Recientemente, sin embargo, una mejor comprensión de la enfermedad mental nos da la certeza de que tanto las preocupaciones matemáticas de Cantor como sus relaciones personales fueron agravadas por su depresión, en lugar de que ellas fueran su causa (ver [3] y [21] por ejemplo). Después de su enfermedad mental de 1884 [3]:
… tomó unas vacaciones en las montañas Harz, sus favoritas, y por alguna razón decidió tratar de reconciliarse con Kronecker. Éste aceptó el gesto, pero debió ser difícil para ambos olvidar su enemistad y las divergencias filosóficas entre ellos continuaron.
Por esa época, las angustias matemáticas comenzaron a ser un problema para Cantor; en particular empezó a angustiarse porque no podía demostrar la hipótesis del continuo, es decir, que el orden de infinitud de los números reales era el siguiente después del de los números naturales. Si un día pensaba que había probado que era falsa, al día siguiente encontraba un error. Volvía a pensar que había probado que era cierta, sólo para rápidamente encontrarse su error.
Las demás cosas tampoco iban bien ya que en 1885 Mittag-Leffler persuadió a Cantor de retirar uno de sus documentos de Acta Matemática cuando ya estaba en periodo de arbitraje, porque él pensaba que estaba ‘… alrededor de cien años adelantado‘, Cantor festejó la broma pero se sintió claramente ofendido:
Si Mittag-Leffler hubier conseguido lo que quería, yo habría esperado hasta 1984, lo cual me parece mucho pedir … Por supuesto, no quiero saber nada más acerca de Acta Matemática.
Mittag-Leffler interpretó esto como un berrinche, lo cual demuestra una falta de apreciación de la importancia del trabajo de Cantor. La correspondencia entre Mittag-Leffler y Cantor cesó al poco tiempo y la vitalidad de las ideas nuevas que habían llevado al rápido desarrollo de la teoría de conjuntos 12 años atrás, pareció casi detenerse.
En 1886 Cantor compró una casa muy bonita en Händelstrasse, calle que lleva el nombre del compositor alemán Handel. Antes del fin de año nació su sexto hijo. Él viró del desarrollo matemático de la teoría de conjuntos hacia dos nuevas direcciones; primero, discutió los aspectos filosóficos de su teoría con muchos filósofos (publicó las cartas en las que lo hizo en 1888), y segundo, luego de la muerte de Clebsch, tomó para sí la idea de fundar las Deutsche Mathematiker-Vereinigun (Unión de Matemáticos Alemanes), lo cual logró en 1890. Cantor presidió la primera asamblea de la Unión en Halle en septiembre de 1891 y, no obstante su gran enemistad con Kronecker, lo invitó para dirigirla.
Kronecker nunca dirigió la asamblea porque su esposa resultó gravemente herida en un accidente de alpinismo en el verano anterior y murió poco después. Cantor fue electo presidente de la Unión de Matemáticos Alemanes en la primera asamblea y mantuvo el puesto hasta 1893. Ayudó a organizar la asamblea de la Unión que se llevó a cabo en Munich en septiembre de 1893, pero se enfermó nuevamente antes de la reunión y no pudo asistir.
Cantor publicó un extraño documento en 1894 en el que enlistaba la forma en que todos los números pares hasta 1 000 pueden escribirse como suma de dos primos. Puesto que una verificación de la conjetura de Goldbach hasta 10 000 se había hecho 40 años antes, es probable que este extraño documento diga más acerca del estado mental de Cantor que acerca de la conjetura de Goldbach.
Sus últimos documentos importantes sobre teoría de conjuntos, dos buenas revisiones de aritmética transfinita, aparecieron en 1895 y 1897, de nuevo en Mathematische Annalen bajo la dirección editorial de Klein, El gran espacio de tiempo entre ambas publicaciones se debió a que, aunque Cantor terminó de escribir la segunda parte seis meses después de la publicación de la primera, deseaba incluir una demostración de la hipótesis del continuo en la segunda parte, lo cual no pudo ser. Sin embargo, el segundo documento describe su teoría de los conjuntos bien ordenados y de los números ordinales.
En 1897 Cantor asistió al primer Congreso Internacional de Matemáticos en Zurich, en su conferencia en el Congreso [4]:
… Hurwitz expresó abiertamente su gran admiración hacia Cantor y lo proclamó como uno de quienes había enriquecido la teoría de funciones. Jacques Hadamard opinó que los conceptos de la teoría de conjuntos eran conocidos ya como instrumentos indispensables.
En el Congreso, Cantor se encontró con Dedekind y renovaron su amistad. Por esa época, sin embargo, Cantor había descubierto la primera de las paradojas de la teoría de conjuntos. La descubrió mientras trabajaba en sus documentos de 1895 y 1897, y le escribió a Hilbert en 1896 para explicársela. Burali-Forti descubrió la paradoja independientemente y la publicó en 1897. Cantor empezó a escribirle a Dedekind para tratar de resolver el problema pero ataques recurrentes de su enfermedad mental lo forzaron a suspender su correspondencia con Dedekind en 1899.
Siempre que Cantor padecía periodos de depresión tenía la tendencia de alejarse de las matemáticas y acercarse a la filosofía y a su gran interés literario, que era la creencia de que Francis Bacon escribió las obras de Shakespeare. Por ejemplo, durante su enfermedad de 1884, había pedido que se le permitiera enseñar filosofía en lugar de matemáticas y comenzó su intenso estudio de la literatura Isabelina en un intento por demostrar su teoría Bacon-Shakespeare, y comenzó a publicar panfletos sobre asuntos literarios en 1896 y 1897. Una tensión adicional cayó sobre Cantor con la muerte de su madre en octubre de 1896 y la muerte del más joven de sus hermanos en enero de 1899.
En octubre de 1899 Cantor solicitó, y le fue concedido, dejar sus clases durante el semestre de invierno de 1899-1900. El 16 de diciembre de 1899 murió el más joven de sus hijos. Desde ese momento hasta el fin de su vida luchó contra la depresión. Continuó enseñando, pero con ausencias en varios semestres de invierno, los de 1902-1903, 1904-1905 y 1907-1908. Cantor pasó también algún tiempo en sanatorios, durante los peores ataques de su enfermedad mental, de 1899 en adelante. Continuó trabajando y publicando sobre su teoría Bacon-Shakespeare, de modo que no se dedicó completamente a las matemáticas. Dio una conferencia sobre la paradoja de la teoría de conjuntos durante una asamblea de la Unión de Matemáticos Alemanes en septiembre de 1903 y asistió al Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg en agosto de 1904.
En 1905 Cantor escribió un trabajo religioso luego de regresar a casa después de un tiempo en el hospital. También se escribió con Jourdain sobre la historia de la teoría de conjuntos y su contexto religioso. Luego de estar ausente durante la mayor parte de 1909 debido a su enfermedad, realizó sus labores universitarias durante 1910 y 1911. En ese año recibió con satisfacción una invitación de la Universidad de San Andrés en Escocia para asistir al 500 aniversario de la fundación de esa Universidad, en calidad de profesor extranjero distinguido. Las celebraciones fueron del 12 al 15 de septiembre de 1911, pero [21]:
Durante la visita, aparentemente comenzó a comportarse de forma excéntrica, hablando en demasía sobre la cuestión Bacon-Shakespeare; luego viajó a Londres por unos días.
Cantor esperaba encontrarse con Russell quien acababa de publicar los Principia Matemática. Sin embargo, su propia enfermedad y la noticia de que su hijo también estaba enfermo, lo hicieron regresar a Alemania sin lograr tal objetivo. El año siguiente Cantor fue galardonado con el grado honorario de Doctor en Derecho por la Universidad de San Andrés, pero estaba tan enfermo que no pudo recibir el grado en persona.
Cantor se retiró en 1913 y pasó sus últimos años enfermo y con escaso alimento, debido a las condiciones de guerra en Alemania. Un gran evento planeado en Halle para celebrar el cumpleaños 70 de Cantor en 1915 tuvo que ser cancelado por la guerra, pero se realizó una fiesta más pequeña en su casa. En junio de 1917 ingresó en un sanatorio por última vez; de ahí le escribía continuamente a su esposa pidiendo que le permitiera regresar a casa. Murió de un ataque cardiaco.
Hilbert describe el trabajo de Cantor como:
… el mejor producto de un genio matemático y uno de los supremos logros de la actividad intelectual netamente humana.
Artículo de: J J O’Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
Bibliografía
- H Meschkowski, Biografía en el Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
- Biografía in Encyclopaedia Britannica
- J W Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (Cambridge, Mass, 1979; reprinted 1990).
- P E Johnson, A history of set theory (Boston, Mass., 1972).
- I Grattan-Guinness, Towards a biography of Georg Cantor, Ann. of Sci. 27 (1971), 345-391.
Más referencias bibliográficas (36 libros/artículos)
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html
