Si tenemos dos candidatos A y B y uno de ellos será electo mediante una votación, entonces hay un sistema justo bastante obvio. Los votantes emiten un voto o por el candidato A o por el B. Sin embargo, si se tiene que votar por un número mayor de candidatos, entonces hay que preguntarse cómo debe hacerse.
Por ejemplo, una de las primeras formas de democracia en Grecia fue introducida por Cleistenes en 508 a.C. Esta era una manera más bien negativa de elección ya que cada año se pedía a los votantes que emitieran un voto por el político a quien más deseaban desterrar por diez años. Los votos se escribían sobre ostraka, pedazos de vasijas rotas, y de aquí viene la palabra ostracismo. Si ningún político recibía más de 6000 votos, entonces todos se quedaban pero si uno o más de ellos recibían más de 6000, entonces el que tuviera el mayor número era exiliado. Pedir que alguien tuviera más de 6000 votos antes de ser desterrado era un incentivo para tratar de asegurarse que solamente se desterrara a una persona cuando era impopular entre un número grande de votantes. Si había una distribución relativamente pareja de los votos, nadie obtendría más de 6000 y no importaría que alguien obtuviera más que los demás en este caso.
El estado veneciano fue erigido en el siglo XIII y se eligió un Gran Concejo con 40 miembros el cual fue aumentado a 60 a mediados del siglo. Se usaron varios sistemas electorales, en particular, los venecianos introdujeron la votación por aceptación en esta época. En este sistema, si hay n candidatos, los electores pueden emitir un voto por cada candidato que les parezca aceptable y ninguno por los otros. Este sistema tiene varios atractivos y sin duda el ganador es la persona que resulta aceptable para el mayor número de votantes.
¿Era justo el sistema de votación introducido por Cleistenes? ¿Lo era el sistema veneciano? Por supuesto para responder a la pregunta de si un sistema electoral es justo se necesita definir lo que esto significa. En el caso en el que hay dos candidatos, hay un argumento matemático para demostrar que solamente hay un sistema que satisface los tres criterios ‘obvios’ de equidad:
todos los votantes son iguales;
ambos candidatos son tratados de la misma manera;
si el candidato ganador recibiera más votos, aún ganaría.
Este sistema de votación es en el que cada votante emite un solo voto por el candidato que quieren elegir y fue demostrado en 1952 por Kenneth May.
Cuando hay más de dos candidatos, la situación se vuelve muy complicada; se han dado varias definiciones de ‘equidad’ y se han propuesto muchos sistemas electorales distintos. Por ejemplo, una sugerencia es que si una persona va a ser electa de entre n, entonces la elección es justa si la persona elegida hubiera ganado en una competencia uno-a-uno con cada uno de los otros n-1 candidatos. Aunque esto parece ‘justo’ en primera instancia, hay un problema cuando ninguno de los candidatos vence a todos los demás en el uno-a-uno.
Llull, en el siglo XIII, propuso un sistema de votación basado precisamente en el principio de ‘justicia’ descrito más arriba cuando pidieron su consejo para elegir a la abadesa de un convento. Su sugerencia quedó anotada en un manuscrito que estuvo en manos de Nicolás de Cusa en el siglo XV pero una descripción más detallada de su propuesta está en un manuscrito que fue descubierto y publicado apenas en 2001. Aunque el sistema de Llull satisface sin ninguna duda la propiedad de que todos estarían de acuerdo en que la persona elegida lo haya sido de manera justa, tiene el problema de que una elección basada en estos principios puede terminar sin un ganador.
En 1433, Cusa, después de estudiar la idea de Llull y de darse cuenta de sus defectos, propuso un sistema diferente el cual siempre tendría un ganador. Cusa produjo un documento sobre cómo elegir Reyes Germanos en el cual propuso el siguiente sistema. Si hubiera n candidatos a Rey, entonces los votantes debería otorgar a su candidato menos preferido un punto, dos puntos al siguiente candidato y así sucesivamente hasta que llegaran a su candidato favorito a quien daría n votos. Este sistema se usa hoy en día para ciertas elecciones pero tiene el defecto de que el candidato electo podría no haber sido el preferido de nadie.
La idea de Llull de una elección justa fue propuesta nuevamente 500 años más tarde por Condorcer en su Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (Ensayo sobre la aplicación del análisis de probabilidad a las decisiones de la mayoría) publicado en 1785. Esta es una notable obra que coloca a Condorcet en un lugar importante en la historia de la probabilidad. El trabajo contiene la Paradoja de Condorcer, la cual señalla que es posible que una mayoría de electores prefieran al candidato A por encima del B, una mayoría puede preferir al candidato B sobre el C, y que una mayoría prefiera al candidato C sobre el A. Por lo tanto, ‘la mayoría prefiere’ no es transitiva y entonces una elección basada en la definición de ‘justo’ de Llull puede no resultar en un ganador. Una segunda edición del trabajo de Condorcet, incluyendo mucho material nuevo, fue publicada en 1805 con el título Eléments du calcul des probabilités et son application aux jeux de hasard, à la loterie et aux jugements des hommes (Elementos del cálculo de probabilidades y su aplicación a los juegos de azar, a la lotería y a los juicios de los hombres).
Borda fue un contemporáneo de Condorcet y creía que, aunque el sistema descrito por Llull y propuesto mucho después por Condorcet, era justo, no podía ponerse en práctica. Borda propuso un sistema de ranquear a los candidatos dándole a cada uno puntos que correspondía a su rango como había hecho Nicolás de Cusa en el siglo XV. Había una discusión vigorosa entre los dos matemáticos sobre cuál de los dos sistema de votación era el mejor pero como ambos tenían sus fortalezas y sus debilidades, esta discusión tenía que terminar sin resultados concluyentes.
Hemos indicado cómo los principios de Borda y Condorcet fueron propuestos en tiempos medievales. Propuestas anteriores de este tipo se discuten en [6]:
Reportamos tres obras medievales, desconocidas hasta la fecha a la elección social, que discuten procedimientos electorales para cuando hay más de dos candidatos. Dos de las tres proponen métodos de Borda y la tercera propone un método de Condorcet que compara pares sucesivos. Las tres discuten problemas de manipulación. Una de ellas muestra una matriz para comparaciones por pares; esta es una obra escrita en 1299, casi 600 años antes de cuando se cree que C L Dogson inventara la notación matricial.
De hecho, Kenneth Arrow demostró en 1951, ganador del premio Nobel de economía en 1972, que ningún sistema electoral puede ser justo en el sentido de producir un ganador que sea preferido por encima de todos los otros candidatos y que aún garantice que la elección tenga un resultado definitivo. Si esto nos lleva a creer que el sistema de graduación de Borda debe ser mejor que el sistema de Condorcet, entonces hay que mencionar que un defecto importante de este sistema es que los electores pueden votar tácticamente en vez de seguir su verdadera opinión. Un votante puede favorecer al candidato A en primer lugar y al candidato B en segundo. Sin embargo, darle n votos a A y 1 voto a B aumenta las posibilidades de ganar de A. Este tipo de voto táctico puede hacer que sean electos candidatos que nadie prefería.
El sistema simple en el que cada votante da un solo voto a su candidato favorito también puede llevar al voto táctico. Si un votante quiere que salga electo el candidato C pero cree que B es el único que tiene oportunidad de impedir que A sea electo, entonces el elector podría votar por B en vez de hacerlo por su favorito, C. Este voto táctico fue evidente en una elección en Escocia en los 90s. En esa elección participaban cuatro partidos ‘grandes’ (y por lo tanto cuatro candidatos principales en casi todas las regiones) y los electores tenían un solo voto. Ningún candidato Conservador ganó a pesar de que el partido obtuvo una proporción razonable de los votos; esto se debió a que en las regiones en las que se pensaba que el partido podía ganar, muchos partidarios de los otros tres partidos votaron por el candidato que pensaron que era más probable que derrotara al Conservador.
El voto táctico lo lleva a uno a pensar sobre la formulación rigurosa de estos problemas usando teoría de juegos. En 1944 von Neumann y Morgenstern publicaron Theory of Games and Economic Behaviour (Teoría de juegos y comportamiento económico) que permitía plantear algunos conceptos como el voto táctico en una forma matemática precisa. Sin embargo, estas formulaciones llevaban a problemas como el dilema del prisionera, el cual ilustraba la dificultad para reconciliar la mejor estrategia para un individuo con la mejor estrategia para grupos de individuos. ¿Tiene esto algo que ver con las elecciones?
Diversos intentos de superar las deficiencias de los sistemas de votación habían sido propuestos mucho antes de que se inventara la teoría de juegos. Una de estas propuestas, de Thomas Hare, John Stuart Mill y C. C. G. Andrae a mediados del siglo XIX, es el sistema de voto único transferible usado principalmente para elegir varios candidatos. En este sistema se supone que hay n candidatos de entre los cuales se eligiran m y se supone que k personas votarán. Se calcula la cuota Q = k / (m+1). Cada votante gradúa a los n candidatos por orden de preferencia. Las primeras preferencias se cuentan y cualquier candidato que reciba más de Q primeras preferencias es electo. Para cada candidato que reciba más votos que la cuota, el número de votos que excedan la cuota se calcula y sus segundas preferencias se le otorgan a los candidatos restantes. El proceso continúa pero puede no resultar con m candidatos pasando de la cuota Q. En este caso el candidato con el menor número de votos queda eliminado y las segundas preferencias de los votantes para este candidato se redistribuyen. El proceso continúa hasta que se consigue un resultado. Si m = 1, es decir, se trata de elegir a una sola persona, el sistema puede ser usado también.
A veces se usan variaciones del sistema cuando se van a elegir partidos en vez de personas. En el sistema de listas, los electores votan por partidos y los candidatos se eligen de una lista que propone cada partido. El número electo por cada partido estará más o menos en proporción del número de votos emitidos. Distintas reglas se han propuesto para computar el número que se elegirá de cada lista. La regla del promedio más alto fue inventada por Víctor d’Hondt. Bajo esta regla, el candidato del partido con más votos es elegido y el número de votos a favor de este partido se divide por el número de candidatos que han sido elegidos más uno. El proceso continúa hasta que el número requerido de candidatos han sido elegidos. Estos sistemas de listas, usando distintas formas de aproximar la proporciones, han sido empleados durante el siglo XX. Bajo estos sistemas de representación proporcional es raro que un solo partido gane una mayoría. Esto es considerado por algunos como una desventaja del sistema y por otros como una ventaja.
Debemos mencionar que la obra sobre la representación proporcional de Dodgson en la década de 1880 cuando consideró la asignación de representates a los distritos. El autor de [4] argumenta que:
El trabajo de Dodgson presenta un acercamiento completo y unificado a los asuntos de la reforma electoral que se estaban discutiendo en la época, pero al hacerlo desarrolló y contribuyó con ideas para la teoría de juegos y la asignación que estaban muy avanzadas para la década de 1880.
La dificultad de todos los sistemas de votación es que se puede demostrar matemáticamente no existe un sistema satisfactorio. Esto fue probado por Kenneth Arrow, quien demostró la que conoce como la Paradoja de Arrow. La paradoja probada por Arrow va contra la intuición ya que uno siente que debe haber una manera satisfactoria de conjuntar los deseos de los individuos en una política para la sociedad como un todo. Esto es, después de todo, en lo que se basa nuestra idea de democracia. Sin embargo, Arrow demostró que no hay forma en que las elecciones de los individuos puedan ser conjuntadas para producir su elección colectiva bajo cuatro supuestos que parecen ‘obvios’. Los axiomas son:
- cada posible elección de los individuos debe llevar a una elección conjunta;
- si todos los individuos ordenan de la misma forma, entonces este debe ser también el orden colectivo;
- el ordenamiento colectivo no debe depender únicamente en la elección de un solo individuo;
- el ordenamiento colectivo no debe depender en los individuos de ninguna manera que no sea respecto a su ordenamiento.
Con estos cuatro axiomas, Arrow mostró que no hay forma de sumar las elecciones de los individuos en una elección colectiva de la sociedad. A pesar del resultado, sin embargo, las democracias continuarán organizando elecciones y pidiendo a los individuos que voten para determinar políticas para todos.
Artículo de: J J O’Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
Referencias bibliográficas
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- A Lijphart, Patterns of democracy (New Haven, CT, 1999).
- S Merrill and B Grofman, A unified theory of voting (Cambridge, 1999).
- F Abeles, C L Dodgson and apportionment for proportional representation, Gadnita Bharati 3 (3-4) (1981), 71-82.
- P Crépel, Le dernier mot de Condorcet sur les élections, Math. Inform. Sci. Humaines No. 111, (1990), 7-43.
- I McLean, The Borda and Condorcet principles : three medieval applications, Soc. Choice Welf. 7 (2) (1990), 99-108.
- N Schofield, Constitutions, voting and democracy : a review, Soc. Choice Welf. 18 (3) (2001), 571-600.
- H P Young, Condorcet’s theory of voting, Math. Inform. Sci. Humaines No. 111 (1990), 45-59.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Voting.html
