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Historia de las Matemáticas: El número Pi
Publicado por Manuel Hermán Capitán | 02/10/2003
Continuando con la serie Historia de las Matemáticas en esta entrega conoceremos el camino que llevó a los matemáticos hasta Pi, además de algunas curiosidades sobre este místico número.
Un versículo poco conocido de la Biblia dice:
Hizo una fuente de metal fundido que medía 10 codos de diámetro: era completamente redonda, y su altura era de 5 codos y una línea de 30 codos lo rodeaba. (I Reyes 7, 23)
El mismo versículo puede encontrarse en II Crónicas 4, 2. Aquí aparece en una lista de especificaciones para el gran templo de Salomón, construido sobre el 950 A.C. y su interés aquí radica en que da un valor de π = 3. No es un valor muy preciso, desde luego, e incluso no muy preciso para su época, lo egipcios y mesopotámicos habían dado valores de 25 / 8 = 3,125 y de √10 = 3,162 respectivamente en épocas mucho más recientes: aunque en defensa de los artesanos de Salomón debería hacerse notar que el elemento que se describe parece ser una pieza de metal fundida muy grande, donde un alto grado de precisión geométrica no es posible ni necesario. Hay algunas otras interpretaciones que llevan a un valor mucho más correcto.
El hecho de que la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo es constante ha sido conocido durante tanto tiempo que es casi imposible de rastrear. Los primeros valores para π que incluyen el valor “bíblico” de 3, fueron casi con certeza encontrados mediante medida. En el Papiro Egipcio de Rhind, que data del 1650 A.C, hay buenas pruebas para tomar 4 (8 / 9)2 = 3,16 como valor para π.
El primer cálculo teórico parece haber sido llevado a cabo por Arquímedes de Siracusa (287-212 A.C.). Obtuvo la aproximación: 223 / 71 < π < 22 / 7.
Antes de dar una indicación para su demostración, nota que existe un alto nivel de sofisticación en el uso de desigualdades. Arquímedes sabía, cosa que hoy desconoce mucha gente, que π no es igual a 22 / 7, y no hizo ninguna afirmación de haber descubierto el valor exacto. Si tomamos su mejor aproximación como la media de estos dos límites obtenemos 3,1418, un error de aproximadamente 0,0002.
Aquí está el argumento de Arquímedes.
Considera un círculo de radio 1, en el cual inscribimos un polígono regular de 3 x 2n-1 lados, con un semiperímetro bn, y superponemos un polígono regular de 3 x 2n-1 lados, con un semiperímetro de an.
El diagrama para el caso n = 2 está a la derecha.
El efecto de este procedimiento es definir una secuencia incremental: b1 , b2 , b3 , ... y una secuencia decreciente a1 , a2 , a3 , ... tales que ambas secuencias tienen como límite π.
Usando notación trigonométrica, vemos que los dos semiperímetros vienen dados por an = K tan( π / K ), bn = K sin( π / K ), donde K = 3 2n-1. Igualmente tenemos que an+1 = 2K tan( π / 2K), bn+1 = 2K sin( π / 2K), y no es un complejo ejercicio de trigonometría demostrar que:
1 / an + 1 / bn ) = 2 / an+1 . . . (1)
an+1 bn = (bn+1 )2 . . . (2)
Arquímedes, comenzando desde a1 = 3 tan( π / 3 ) = 3√3 and b1 = 3 sin( π / 3 ) = 3√3/2, calculó a2 usando (1), luego b2 usando (2), a3 usando (1), b3 usando (2), y de esta forma hasta que calculó a6 and b6. Su conclusión fue que b6 < π < a .
Es importante darse cuenta de que el uso de la trigonometría aquí no es histórico: Arquímedes no tenía las ventajas de una notación algebraica y trigonométrica y tuvo que derivar (1) y (2) de forma puramente geométrica. Además no tuvo siquiera la ventaja de nuestra notación decimal para los números, por lo que el cálculo de a6 and b6 a partir de (1) y (2) no fue de ninguna forma una tarea trivial. Por tanto fue una fabulosa proeza de imaginación y cálculo y la maravilla no es que parase en polígonos de 96 lados, sino que fue más lejos.
Por supuesto, no hay razón en principio por la que no se debería continuar. Distinas personas lo hicieron, incluyendo a:
Excepto para Zu Chongzhi, sobre quién no sabemos prácticamente nada y que es muy improbable que conociese el trabajo de Arquímedes, no se produjo ningún avance teórico en estas mejoras, solo mayor energía en el cálculo. Nota como la cabecera, es todos estas materias científicas, pasaron de Europa al Este desde el milenio que va del 400 al 1400 D.C.
Al-Khwarizmi vivió en Bagdad, y dio su nombre a “algoritmo”, mientras que las palabrasal jabr en el título de uno de sus libros nos dio la palabra “álgebra”. Al-Kashi vivió incluso más al Este, en Samarkanda, mientras que Zu Chongzhi, no es necesario añadir, vivió en China.
El Renacimiento europeo ocasionó en su debido momento todo un nuevo mundo matemático. Entre los primeros efectos de este redespertar fue la aparición de fórmulas matemáticas para π. Una de las primeras fue la de Wallis (1616-1703): 2 / π = (1.3.3.5.5.7. ...) / (2.2.4.4.6.6. ...) y una de las más conocidas es: π / 4 = 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + ....
Esta fórmula se le atribuye en muchos casos a Leibniz (1646-1716) pero parece que fue descubierta en primer lugar por James Gregory (1638- 1675).
Estas son dos espectaculares y asombrosas fórmulas, ya que las expresiones de la derecha son de carácter completamente aritmético, mientras π emerge en primera instancia de la geometría. Demostraron los sorprendentes resultados que los procesos infinitos pueden lograr y muestran el camino a la maravillosa riqueza de la matemática moderna.
Desde el punto de vista del cálculo de π, sin embargo, no tenía ningún uso. En las series de Gregory, por ejemplo, para obtener un resultado con 4 posiciones decimales correctas se requiere que el error sea menor que 0,00005 =1 / 20 000, y para esto necesitamos unos 10 000 términos de la serie. Sin embargo, Gregory también demostró el resultado más general
tan-1 x = x – x3 / 3 + x5 / 5 - ... (-1 ≤ x ≤ 1) . . . (3)
a partir del cual obtenemos la primera serie si tomamos x = 1. Por lo que usando el hecho de que tan-1( 1 / √3 ) = π / 6 tenemos que
π / 6 = ( 1 / √3 )( 1 – 1 / (3.3) + 1 / (5.3.3) – 1 / (7.3.3.3) + ...
la cual converge mucho más rápidamente. El décimo término es 1 / (19 x 39√3), lo cual es menos que 0,00005, y por tanto al menos 4 decimales correctos tras solo 9 términos.
Una idea incluso mejor es tomar la fórmula:
π / 4 = tan-1( 1 / 2 ) + tan-1( 1 / 3 ) . . . (4)
Y entonces resultan las dos series obtenidas poniendo primero 1 / 2 y 1 / 3 dentro (3).
Claramente tendremos una convergencia muy rápida, en efecto, si podemos encontrar una fórmula similar a esta:
π / 4 = tan-1( 1 / a ) + tan-1( 1 / b )
Con a y b graneds. En 1706 Machin encontró tal fórmula:
π / 4 = 4 tan-1( 1 / 5 ) – tan-1( 1 / 239 ) . . . (5)
En realidad esto no es difícil de probar, si sabes cómo demostrar (4) entonces no hay ninguna dificultad extra en (5), excepto que la aritmética es más compleja. Imaginar esto en primer lugar, por supuesto, es un tema bastante distinto.
Con una fórmula como esta disponible, la única dificultad en calcular π es superar el aburrimiento del cálculo continuo. Ni que decir tiene que algunas personas fueron lo bastante estúpidas como para dedicar ingentes cantidades de tiempo y esfuerzo en este tedioso y completamente inútil pasatiempo. Uno de ellos, un inglés llamado Shanks, usó la fórmula de Machin para calcular 707 lugares de π, publicando los resultados de muchos años de trabajo en 1873. Shanks ha conseguido la inmortalidad por una razón muy curiosa que explicaremos en un momento.
Aquí tenemos un resumen de cómo se produjeron las mejoras:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages.html

Nombre | Año | Precisión |
---|---|---|
Ptolomeo | 150 A.C | 3,1416 |
Zu Chongzhi | 430-501 A.C | 355 / 113 |
al-Khwarizmi | 800 | 3,1416 |
al-Kashi | 1430 | 14 dígitos |
Viète | 1540-1603 | 9 posiciones |
Roomen | 1561-1615 | 17 posiciones |
Van Ceulen | 1600 | 17 posiciones |
- 1699: Sharp usó el cálculo de Gregory para obtener 71 dígitos correctos
- 1701: Machin usó una mejora para obtener 100 dígitos. Los siguientes usaron sus métodos
- 1719: de Lagny encontró 112 dígitos correctos
- 1789: Vega obtuvo 126 lugares y en 1794 obtuvo 136
- 1841: Rutherford calculó 152 dígitos y en 1853 obtuvo 440
- 1873: Shanks calculó 707 posiciones de las cuales 527 eran correctas
- ¿Cada uno de los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aparecen infinitamente con frecuencia en π?
- Cuestión de Brouwer: En la expansión decimal de π, ¿hay alguna posición donde mil dígitos consecutivos sean todos cero?
- ¿En π simplemente normal en base 10? ¿Hace esto que cada dígito aparezca con la misma frecuencia en su expansión decimal en un sentido asintótico?
- ¿Es π normal en base 10? ¿Hace esto que cada bloque de dígitos de una longitud dada aparezca con la misma freciencia en su expansión decimal en un sentido asintótico?
- ¿Es π normal? ¿Hace esto que cada bloque de dígitos de una longitud dada aparezca con la misma frecuencia en la expansión de cada base en un sentido asintótico? El concepto fue introducido por Borel en 1909.
- ¡Otra cuestión normal! Sabemos que π no es un número racional ya que no hay ningún punto a partir del cual sus dígitos comiencen a repetirse. Sin embargo, si π es normal entonces el primer millón de dígitos 314159265358979... tendrá lugar desde algún punto. ¡Incluso si π no es normal esto se matiene! ¿Es así? ¿Si es así, desde qué punto? Nota: Por encima de 200 millones lo más largo en aparecer es 31415926 y aparece dos veces.
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