Biografía de Joseph-Louis Lagrange

Nació: el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia-Piedmont (actualmente Italia) Murió: el 10 de Abril de 1813 en Paris, Francia #1#Joseph-Louis Lagrange está considerado generalmente como un matemático francés, pero la Enciclopedia Italiana [4] se refiere a él como un matemático italiano. En ambos casos está justificada la pretensión puesto que Lagrange nació en Turín y fue bautizado con el nombre de Giuseppe Lodovico Lagrangia. El padre de Lagrange fue Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia quien fue Tesorero de la Oficina de Trabajos Públicos y Fortificaciones en Turín, mientras su madre, Teresa Grosso, fue la única hija de un doctor en medicina de Cambiano, cerca de Turín. Lagrange fue el mayor de sus 11 hijos y uno de los dos que sobrevivieron hasta la edad adulta. Turín había sido la capital del ducado de Saboya, pero se convirtió en la capital del reino de Cerdeña en 1720, 16 años antes de nacer Lagrange. La familia de Lagrange tenia contactos franceses por parte del padre, siendo su bisabuelo un caballero capitán francés que abandonó Francia para trabajar para el duque de Saboya. Lagrange siempre se inclinó por sus ancestros franceses, y ya desde joven firmaría como Lodovico LaGrange o Luigi Lagrange, usando la forma francesa de su apellido. A pesar de que el padre de Lagrange tenia una posición de importancia al servicio del rey de Cerdeña, la familia no era adinerada ya que el padre de Lagrange perdió grandes sumas de dinero en infructuosas especulaciones financieras. El padre de Lagrange planeó la carrera de abogado para Lagrange, y, al parecer, Lagrange lo aceptó con mucho gusto. Estudió en la Universidad de Turín y su tema favorito fue latín clásico. Al principio no tenia gran entusiasmo por las matemáticas, encontrando la geometría griega bastante aburrida. El interés de Lagrange por las matemáticas empezó cuando en 1693 leyó una copia del trabajo de Halley sobre el uso del álgebra en óptica. También fue cautivado por la física gracias a la excelente docencia de Beccaria en la Universidad de Turín y decidió hacer la carrera de matemáticas por sí mismo. Quizá el mundo de las matemáticas deba agradecer al padre de Lagrange por su poco satisfactoria especulación financiera, tal como Lagrange declaró más tarde

Si hubiera sido rico, probablemente no me hubiera dedicado a las matemáticas.

Por supuesto se dedicó a las matemáticas pero en su mayor parte fue autodidacta y no tuvo el beneficio de estudiar con los principales matemáticos. El 23 de Julio de 1754 publicó su primer trabajo matemático que tomó la forma de una carta escrita en italiano para Giulio Fagnano. Tal vez más sorprendente fue el nombre bajo el cual Lagrange escribió esta carta, llamándose Luigi De la Grange Tournier. Esta trabajo no era una obra maestra y mostraba en gran medida el hecho de que Lagrange estaba trabajando solo sin el consejo de un supervisor matemático. La carta describe la analogía entre el teorema binomial¹ y las derivadas sucesivas del producto de funciones. Antes de escribir la carta en italiano para su publicación, Lagrange había enviado los resultados a Euler, quien por entonces trabajaba en Berlín, en una carta escrita en latín. El mes siguiente a la publicación del escrito, sin embargo, Lagrange descubrió que sus resultados ya aparecían en una carta entre Johann Bernoulli y Leibniz. Lagrange estaba muy turbado por este descubrimiento ya que temía ser señalado como un tramposo que copiaba los resultados de otros. Sin embargo este menos que excepcional inicio no hizo más que hacer redoblar sus esfuerzos a Lagrange para ofrecer resultados de real mérito en matemáticas. Empezó trabajando en la tautocrona², la curva en la cual una partícula pesada siempre llegará a un determinado punto al mismo tiempo independientemente de su posición inicial. A finales de 1754 había hecho algunos descubrimientos importantes en la tautócrona que podrían contribuir sustancialmente al nuevo tema del cálculo de variaciones³ (al que los matemáticos estaban empezando a estudiar pero que no recibiría el nombre de 'cálculo de variaciones' hasta que Euler lo llamaría así en 1766). Lagrange envió a Euler sus resultados sobre la tautocrona incluyendo su método de máximos y mínimos. Su carta fue escrita el 12 de agosto de 1755 y Euler contestó el 6 de septiembre diciéndole cuan impresionado estaba por las nuevas ideas de Lagrange. Aunque solo tenía 19 años, Lagrange fue nombrado profesor de matemáticas en la Escuela Real de Artillería en Turín el 29 de septiembre de 1755. Fue bien merecido para el joven al haber mostrado ya al mundo de las matemáticas la originalidad de su manera de pensar y la profundidad de su gran talento. En 1756 Lagrange envió a Euler los resultados que había obtenido aplicando el cálculo de variaciones a la mecánica. Estos resultados generalizaban los resultados que él mismo había obtenido y Euler consultó a Maupertuis, presidente de la Academia de Berlin sobre este joven matemático excepcional. Lagrange no solo fue un matemático excepcional, sino también un firme defensor del principio de mínima acción por lo que Maupertuis no dudó en intentar atraer a Lagrange para un puesto en Prusia. Concertó con Euler que daría a entender a Lagrange que el nuevo puesto era considerablemente más prestigioso que el que tenía en Turín. Sin embargo, Lagrange no buscaba grandeza, solo quería ser capaz de dedicar su tiempo a las matemáticas y tímida y cortésmente declinó el cargo. Euler también propuso a Lagrange para su elección en la Academia de Berlín y fue debidamente elegido el 2 de septiembre de 1756. Al año siguiente Lagrange fue un miembro fundador de una sociedad científica en Turín, que se convirtió en la Real Academia de Ciencias de Turín. Una de las principales funciones de esta nueva sociedad fue publicar una revista científica, el Mélanges de Turin, que publicaba artículos en francés o latín. Lagrange fue un gran contribuyente de los primeros ejemplares de Mélanges de Turin, cuyo volumen 1 apareció en 1759, el volumen 2 en 1762 y el volumen 3 en 1766. Los artículos de Lagrange que aparecieron en estas memorias cubrían una diversidad de temas. Publicó sus elegantes resultados sobre cálculo de variaciones, y su corto trabajo sobre cálculo de probabilidades⁴. En un trabajo sobre los fundamentos de la dinámica, Lagrange basó su desarrollo en el principio de mínima acción y en la energía cinética. En Mélanges de Turin Lagrange hizo también un estudio trascendental sobre la propagación del sonido, realizando importantes contribuciones a la teoría de cuerdas vibratorias. Había leído extensamente sobre el tema y pensó clara y profundamente en el trabajo de Newton, Daniel Bernoulli, Taylor, Euler y d'Alembert. Lagrange usó un discreto modelo de masas para su cuerda vibratoria, consistente en n masas unidas por cuerdas sin peso. Solucionó el sistema resultante de n + 1 ecuaciones diferenciales⁵, luego hizo que n tendiera a infinito para obtener la misma solución funcional que Euler había hecho. Su camino diferente para la solución, sin embargo, muestra que estaba investigando métodos distintos de los de Euler, por quien Lagrange tenia un gran respeto. En escritos publicados en el tercer volumen, Lagrange estudió la integración de ecuaciones diferenciales e hizo varias aplicaciones a cuestiones como mecánica de fluidos (donde introdujo la función Lagrangiana). También contenía métodos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que usaban el característico valor de una substitución lineal por primera vez. Otro problema al que aplicó sus métodos fue el estudio de las órbitas de Júpiter y de Saturno. La Academia de las Ciencias de París anunció su premiado certamen de 1764 en 1762. El tema fue el balanceo de la Luna, esto es, el movimiento de la Luna que causa que la cara que presenta a la Tierra oscile causando pequeños cambios en la posición de los rasgos lunares. Lagrange entró en la competición, enviando su inscripción a Paris en 1763 que llegó allí no mucho antes que el propio Lagrange. En noviembre de ese año salió de Turín para hacer su primer largo viaje, acompañando al Marqués Caraccioli, un embajador de Nápoles quien se trasladaba de un puesto en Turín a uno en Londres. Lagrange llegó a París poco después que su inscripción fuera recibida pero estuvo enfermo mientras estuvo allí y no prosiguió a Londres con el embajador. D'Alembert estaba contrariado de que un matemático tan excelente como Lagrange no recibiera más honores. Escribió de su parte [1]:

El Señor de la Grange, un joven geómetra de Turín, ha estado aquí durante seis semanas. Ha estado bastante enfermo y necesita, no ayuda financiera, ya que el Marqués de Caraccioli ordenó a su partida para Inglaterra que no le faltara nada, pero si algún signo de interés de parte de su país natal... En él, Turín posee un tesoro cuyo valor tal vez no conozca.

De regreso a Turín a principios de 1765, Lagrange se registró, más tarde ése año, para el premio de 1766 de la Academia de las Ciencias sobre las órbitas de las lunas de Júpiter. D'Alembert, quién visitó la Academia de Berlín y era amigo de Federico II de Prusia, dispuso que se ofreciera a Lagrange un cargo en la Academia de Berlín. A pesar de no haber mejora en la situación de Lagrange en Turín, volvió a rechazar la oferta escribiendo:

Me parece que Berlín no es adecuado para mi mientras el Sr. Euler esté allí.

En marzo de 1766 d'Alembert supo que Euler volvia a San Petersburgo y escribió otra vez a Lagrange para alentarle a aceptar un puesto en Berlín. Detalles completos de la generosa oferta le fueron enviados por Federico II en abril, y Lagrange finalmente aceptó. Dejando Turín en agosto, visitó a d'Alembert en París, después a Caraccioli en Londres antes de llegar a Berlín en octubre. Lagrange sucedió a Euler como Director de Matemáticas en la Academia de Berlín el 6 de noviembre de 1766. Lagrange fue saludado amablemente por la mayoría de los miembros de la Academia y pronto fue intimo amigo de Lambert y Johann(III) Bernoulli. Sin embargo, no todos se alegraban al ver a este joven en tan prestigiosa posición, particularmente Castillon quien era 32 años mayor que Lagrange y consideraba que él debía haber sido asignado como Director de Matemáticas. Apenas un año tras su llegada a Berlín, Lagrange se casó con su prima Vittoria Conti. Escribió a d'Alembert:

Mi esposa, que es una de mis primas y que incluso vivió largo tiempo con mi familia, es muy buena ama de casa y no tiene ninguna pretensión.

No tuvieron hijos, de hecho Lagrange había dicho a d'Alembert en esta carta que el no deseaba tener hijos. Turín siempre lamentó perder a Lagrange y de vez en cuando se sugirió su vuelta, por ejemplo en 1774. Sin embargo, por 20 años, Lagrange trabajó en Berlín, elaborando un constante caudal de escritos de alta calidad y ganando regularmente el premio de la Academia de las Ciencias de París. Compartió el premio de 1772 sobre el problema de los tres cuerpos⁶ con Euler, ganó el premio de 1774, otro sobre el movimiento de la Luna, y el premio de 1780 sobre las perturbaciones de las órbitas de los cometas por los planetas. Su trabajo en Berlín cubrió muchos temas: astronomía, la estabilidad del sistema solar⁷, mecánica, dinámica, mecánica de fluidos, probabilidad, y los fundamentos del cálculo. También trabajó en la teoría de números⁸ demostrando en 1770 que todo entero positivo es la suma de cuatro cuadrados. En 1771 demostró el teorema de Wilson (primero enunciado sin demostrar por Waring) que n es primo⁹ si y solo si (n - 1)! + 1 es divisible por n. En 1770 también presentó su importante trabajo Réflexions sur la résolution algébrique des équations donde hace una investigación fundamental de por qué las ecuaciones de hasta 4º grado pueden ser resueltas usando radicales¹⁰. El documento es el primero en considerar las raíces de una ecuación como cantidades abstractas en lugar de tener valores numéricos. Estudió permutaciones¹¹ de las raíces y, aunque no redactó permutaciones en el escrito, puede considerarse como el primer paso en el desarrollo de la teoría de grupos¹² continuada por Ruffini, Galois y Cauchy. Aunque Lagrange hizo numerosas contribuciones importantes a la mecánica, no hizo un trabajo comprensible. Decidió escribir un trabajo definitivo incorporando sus contribuciones y escribió a Laplace el 15 de septiembre de 1782:

Casi he terminado un Traité de mécanique analytique basado especialmente en el principio de velocidades virtuales; pero como aún no conozco cuándo o dónde podré tenerlo impreso, no me doy prisa en darle los toques finales.

A Caraccioli, quien estaba por entonces en Sicilia, le hubiera gustado ver el retorno de Lagrange a Italia y preparó una oferta que debía hacerle la corte de Nápoles en 1781. Ofrecía un puesto de Director de Filosofía en la Academia de Nápoles. Lagrange la rechazó ya que solo quería paz para hacer matemáticas y el cargo en Berlín le ofrecía las condiciones ideales. Durante sus años en Berlín su salud fue bastante escasa en muchas ocasiones, y la de su esposa aun peor. Ella murió en 1783 tras años de enfermedad y Lagrange estuvo muy deprimido. Tres años después, Federico II murió y la posición de Lagrange en Berlín pasó a ser menos feliz. Muchos estados italianos vieron su oportunidad y se hicieron intentos para atraerlo de vuelta a Italia. La oferta más atractiva para Lagrange, sin embargo, no vino de Italia sino de Paris e incluía una cláusula que especificaba que Lagrange estaba excluido de la docencia. El 18 de mayo de 1787 dejó Berlín para ser miembro de la Academia de las Ciencias de Paris, donde se mantuvo el resto de su carrera. Lagrange sobrevivió a la Revolución Francesa mientras otros no y esto puede ser debido hasta cierto punto a su actitud, que ya había expresado muchos años antes cuando escribió:

Yo creo que, en general, uno de los primeros principios de cada hombre sabio es conformarse estrictamente con las leyes del país en el que vive, incluso cuando son irracionales.

La Mécanique analytique que Lagrange escribió en Berlín fue publicada en 1788. Fue aprobada para su publicación por un comité de la Academia de las Ciencias compuesto por Laplace, Cousin, Legendre y Condorcet. Legendre actuó como editor para el trabajo haciendo de corrector y otras tareas. La Mécanique analytique resumía todo el trabajo realizado en el campo de la mecánica desde los tiempos de Newton y es notable por su uso de la teoría de las ecuaciones diferenciales. Con este trabajo Lagrange transformó la mecánica en una rama del análisis matemático. Escribió en el Prefacio:

Uno no va a encontrar números en este trabajo. Los métodos que expongo no requieren instrucciones, ni argumentos geométricos o analíticos, sino sólo operaciones algebraicas, sujetas a un curso regular y uniforme.

Lagrange fue nombrado miembro del comité de la Academia de las Ciencias para estandarizar pesos y medidas en mayo de 1790. Trabajaron en el sistema métrico y propugnaron una base decimal. Lagrange se casó por segunda vez en 1792, siendo su esposa Renée-Françoise-Adélaide Le Monnier, la hija de uno de sus colegas astrónomos en la Academia de las Ciencias. Naturalmente no era indiferente a los acontecimientos políticos. En 1793 empezó el Reinado del Terror y la Academia de las Ciencias junto a las otras eruditas sociedades, fue suspendida el 8 de Agosto. La comisión de pesos y medidas fue la única a la que se permitió continuar y Lagrange pasó a ser su presidente mientras otros como el químico Lavoisier, Borda, Laplace, Coulomb, Brisson y Delambre fueron despedidos de la comisión. En septiembre de 1793 se aprobó una ley ordenando el arresto de todos los extranjeros nacidos en países enemigos y todas sus propiedades debían ser confiscadas. Lavoisier intervino a favor de Lagrange, quien ciertamente entraba en los términos de la ley, y se le concedió una excepción. El 8 de mayo de 1794, tras un juicio que duró menos de un día, un tribunal revolucionario condenó a Lavoisier, quien había salvado a Lagrange del arresto, y a otros 27 a muerte. Lagrange dijo sobre la muerte de Lavoisier, guillotinado por la tarde del día de su juicio:

Tomó un momento causar la caída de su cabeza y cien años no serán suficientes para producir otra igual.

La École Polytechnique fue fundada el 11 de marzo de 1794 y abierta en diciembre de 1794 (aunque fue llamada École Centrale des Travaux Publics en su primer año de existencia). Lagrange fue su primer profesor de análisis, designado para su inauguración en 1794. En 1795 fue fundada la École Normale con el objetivo de instruir a maestros de escuela. Lagrange enseño cursos en matemática elemental. Ya hemos mencionado que Lagrange tenia una cláusula de 'no enseñar' escrita en su contrato, pero la Revolución cambio las cosas y Lagrange fue obligado a enseñar. Sin embargo no era un buen orador como Fourier, quien atendió sus clases en la École Normale en 1795, escribió:

Su voz es muy débil, al menos cuando no se acalora; tiene un acento italiano muy pronunciado y pronuncia la s como la z... Los estudiantes, la mayoría de los cuales es incapaz de apreciarlo, le dan poca acogida, aunque los profesores corrigen esta situación.

Del mismo modo, Bugge, quien asistió a sus clases en la École Polytechnique en 1799 escribió:

... lo que sea que esta gran hombre dice, merece el máximo grado de consideración, pero es demasiado abstracto para la juventud.

Lagrange publicó dos volúmenes de sus clases de cálculo. En 1797 publicó su primera teoría de las funciones de una variable real con Théorie des fonctions analytiques aunque fracasó en dar atención suficiente a las materias de convergencia. Él afirma que el objetivo del trabajo es dar:

... los principios del cálculo diferencial, liberado de toda consideración de las cantidades infinitamente pequeñas o evanescentes, de límites o fluxiones, y reducido al análisis algebraico de cantidades finitas.

También afirma:

Las operaciones ordinarias de álgebra bastan para resolver problemas en la teoría de curvas.

Sin embargo, no todos consideraron a las aproximaciones al cálculo de Lagrange como las mejores, por ejemplo de Prony escribió en 1835:

Las bases del cálculo de Lagrange son una parte interesante de lo que se puede llamar puramente estudio filosófico; pero cuando se da el caso que un instrumento de exploración deba hacer análisis trascendentales para problemas presentados en astronomía, ingeniería naval, geodesia y las diferentes ramas de la ciencia de la ingeniería, la consideración de lo infinitamente pequeño lleva al objetivo de una manera que es más feliz, más presta y más inmediatamente adaptada a la naturaleza de las cuestiones, y esta es la razón de que el método de Leibniz ha prevalecido, en general, en las escuelas francesas.

El segundo trabajo de Lagrange en este tema Leçons sur le calcul des fonctions apareció en 1800. Napoleón nombró a Lagrange a la Legión de Honor y Conde del Imperio en 1808. En abril de 1913 fue galardonado con la Gran Cruz de la Orden Imperial de la Reunión. Murió una semana después. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive Notas:

1. El teorema binomial es el resultado que permite desarrollar un binomio: (x + y)ⁿ = xⁿ + a_n-1x^n-1y + a_n-2x^n-2y² + ... + yⁿ donde los coeficientes a_i se llaman coeficientes binomiales.
2. Una tautocrona es una curva cuya forma es tal que el periodo de las oscilaciones de una pequeña pelota que ruede sobre ella es independiente de su tamaño. La cicloide es un ejemplo de curva tautocrona: la pelota tardará el mismo tiempo en llegar a la parte más baja de la curva sin importar en dónde se coloque.
3. El cálculo de variaciones es una generalización del cálculo. Trata de encontrar la trayectoria, curva, superficie, etc. para la cual una función dada tiene un valor estacionario (generalmente un máximo o mínimo).
4. La teoría de probabilidad estudia los posibles resultados de eventos o sucesos aleatorios junto con su distribución. De hecho hay un debate importante sobre lo que significa probabilidad en la práctica. Algunos matemáticos la consideran una simple componente de una teoría abstracta mientra que otros le dan una interpretación basada en las frecuencias de ciertos resultados.
5. Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra a las derivadas (de primer o mayor orden) de una o más funciones. Si la ecuación tiene solamente primeras derivadas, se le llama de primer orden, etc. Si la ecuación contiene derivadas elevadas a la potencia n entonces se dice que es de grado n. Las de grado uno se llaman lineales. Las ecuaciones que involucran a una sola variable se conocen como ecuaciones diferenciales ordinarias mientras que las que tienen más de una se llaman ecuaciones diferenciales parciales.
6. El problema de los tres cuerpos investiga el comportamiento de tres cuerpos que se atraen unos a otros (como el Sol, la Tierra y la Luna) y la estabilidad de sus movimientos.
7. El sistema solar está formado por el Sol, sus planetas, las lunas de éstos, etc.
8. La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.
9. Un número entero > 1 es primo si es divisible solamente por sí mismo y la unidad (1). Al número 1 no se le considera primo. Todo entero positivo puede escribirse como un producto de primos de manera única.
10. La palabra radical significa raíz así que un radical es la raíz enésima de un número. Resolver una ecuación polinomial por radicales consiste en encontrar una fórmula para sus raíces en términos de los coeficientes de tal manera que la fórmula solamente involucre las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y obtención de raíces.
11. Una permutación de un conjunto ordenado X es el reordenamiento de los elementos de X. Por ejemplo, si X es el conjunto ordenado (1, 2, 3) hay seis permutaciones de X: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). En general, un conjunto con n elementos tiene n! permutaciones. Uno puede permutar k elementos de un conjunto de tamaño n y obtener n!/k! permutaciones. Este número se denota a veces _nP_k para distinguirlo del número de combinaciones _nC_k.
12. Un grupo es una estructura formada por un conjunto y un método para combinar elementos (suma o multiplicación) tal que dicha estructura satisface ciertas propiedades que la hacen adecuado para una gran variedad de aplicaciones. Grupos de permutaciones, simetrías, matrices, etc. son ampliamente usados en muchas áreas de las matemáticas y la física.

Bibliografía

1. Biografía en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
2. Biografía en Encyclopaedia Britannica.
3. J B J Delambre, Notice sur la vie et les ouvages de M le Comte J L Lagrange, Mémoires de la class des sciences matématique de l'institut 1812 (Paris, 1816).
4. Lagrange (o Lagrangia), Giuseppe Luigi, Enciclopedia Italiana XX (Rome, 1933)

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1. Un paseo por la historia de las matemáticas
2. Historia de la ecuación de Pell