Biografía de Sir Isaac Newton

Nacido: 4 Enero 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra Muerto: 31 Marzo 1727 en Londres, Inglaterra #1#La vida de Isaac Newton puede ser dividida en tres periodos bastante distintos. El primero abarca desde sus días de infancia hasta su ascenso a una cátedra en 1669. El segundo periodo desde 1669 hasta 1687 fue el más productivo en el que fue el profesor Lucasiano en Cambridge. El tercer periodo (casi tan largo como los otros dos combinados) vio a Newton como un oficial del gobierno excelentemente pagado en Londres al que restaba poco interés por la investigación matemática. Isaac Newton nació en la casa feudal de Woolsthorpe, cerca de Grantham en Lincolnshire. Aunque por el calendario en uso en la fecha de su nacimiento él nació el día de Navidad de 1642, damos en esta biografía la fecha del 4 de Enero de 1643 que es la que corresponde al 'corregido' calendario gregoriano que la pone en la línea de nuestro actual calendario. (El calendario gregoriano no fue adoptado en Inglaterra hasta 1752). Isaac Newton venía de una familia de granjeros pero nunca conoció a su padre, también llamado Isaac Newton, que murió en octubre de 1642, tres meses antes de que naciese su hijo. Aunque el padre de Isaac poseía propiedades y animales que le hacían un hombre bastante acaudalado, era completamente analfabeto y no sabía firmar con su propio nombre. Puede ver una imagen de Woolsthorpe Manor como es actualmente. La madre de Isaac, Hannah Ayscough se volvió a casar con Barnabas Smith, el ministro de la iglesia de North Witham, un pueblo cercano, cuando Isaac tenía dos años de edad. El joven niño fue entonces dejado al cuidado de su abuela Margery Ayscough en Woolsthorpe. Básicamente tratado como un huérfano, Isaac no tuvo una infancia feliz. Su abuelo James Ayscough no fue nunca mencionado por Isaac en su vida posterior y el hecho de que James no dejase nada a Isaac en su testamento, que hizo cuando el niño tenía diez años, sugiere que no había amor entre ambos. No hay duda de que Isaac sentía mucha amargura hacia su madre y su padrastro Barnabas Smith. Cuando examinaba sus pecados a la edad de diecinueve, Isaac escribía: Amenazar a mi padre y madre Smith con quemarlos y a la casa sobre ellos. A la muerte de su padrastro en 1653, Newton vivía en una amplia familia compuesta de su madre, su abuela, un medio hermano, y dos medio hermanas. Desde poco después de esta época Isaac comenzó asistir a la Escuela secundaria selectiva gratuita (Free Grammar School¹) en Grantham. Aunque sólo estaba a cinco millas de su casa, Isaac se hospedó con la familia Clark en Grantham. Sin embargo parece haberse mostrado poco prometedor en su trabajo académico. Sus informes escolares le describen como 'perezoso' y 'desatento'. Su madre, ahora una señora de razonable riqueza y tierras, creía que su hijo mayor era la persona adecuada para dirigir sus asuntos y su hacienda. Isaac fue sacado de la escuela pero pronto mostró que no tenía talento, o interés, en administrar una hacienda. Un tío, William Ayscough, decidió que Isaac debería prepararse para ingresar en la universidad, y, habiendo persuadido a su madre de que era lo que había que hacer, a Isaac se le permitió regresar a la Escuela Libre de Gramática en Grantham en 1660 para completar su educación escolar. Esta vez se alojó con Stokes, que era el director de la escuela, y parecería que, a pesar de las sugerencias de que antes no había mostrado futuro académico, Isaac debió convencer a alguno de los que le rodeaban de que si lo tenía. Algunas pruebas apuntan a Stokes también persuadiendo a la madre de Isaac para dejarle entrar en la universidad, por lo que es probable que Isaac se hubiera mostrado más prometedor en su primera temporada en la escuela de lo que los informes escolares sugieren. Otra prueba viene de la lista de pecados referida anteriormente. Él relaciona uno de sus pecados como: ... fijar mi corazón en el dinero, el aprendizaje, y el placer más que en Ti ... lo que nos habla de la pasión que Isaac debió tener por el aprendizaje. No sabemos nada sobre lo que aprendió Isaac en la preparación para la universidad, pero Stokes era un hombre capaz y casi con certeza dio a Isaac un entrenamiento personal y una buena base. No hay pruebas de que aprendiera nada de matemáticas, pero no podemos excluir a Stokes introduciéndolo a los Elementos de Euclides que era bien capaz de enseñar (aunque hay pruebas mencionadas más delante de que Newton no leyó a Euclides antes de 1663). Abundan las anécdotas sobre un talento mecánico que Isaac mostró en la escuela y se cuentan historias de su habilidad en fabricar modelos de máquinas, en particular de relojes y molinos de viento. Sin embargo, cuando los biógrafos buscan información sobre gente famosa hay siempre una tendencia a que la gente informe lo que ellos creen que se espera de ellos, y estas anécdotas pueden estar simplemente inventadas a posteriori por aquellos que sentían que el más famoso científico del mundo debía haber tenido estas habilidades en el colegio. Newton ingresó en el viejo College² de su tío, el Trinity College de Cambridge, el 5 de Junio de 1661. Era mayor que casi todos sus compañeros estudiantes pero, a pesar del hecho de que su madre estaba bien situada financieramente, ingresó como un 'sizar'. Un sizar en Cambridge era un estudiante que recibía una ayuda para los gastos del colegio a cambio de actuar como sirviente de otros estudiantes. Hay ciertamente alguna ambigüedad en su posición como sizar, ya que parece haberse asociado con los estudiantes de 'clase alta' más que con otros sizars. Westfall (ver [23] o [24]) ha sugerido que Newton pudo haber tenido a Humphrey Babington, un pariente lejano que era un compañero de Trinity, como su patrón. Esta razonable explicación encajaría bien con lo que se sabe y significa que su madre no le sometió innecesariamente a privaciones como proclaman algunos de sus biógrafos. La intención de Newton en Cambridge era graduarse en derecho. La instrucción en Cambridge estaba dominada por la filosofía de Aristóteles pero se permitía alguna libertad de estudio en el tercer año de carrera. Newton estudió la filosofía de Descartes, Gassendi, Hobbes, y en particular a Boyle. La mecánica de la astronomía copernicana de Galileo le atrajo y también estudió la Optica de Kepler. Registró sus pensamientos en un libro que tituló Quaestiones Quaedam Philosophicae (Cuestiones Filosóficas Ciertas). Es una relación fascinante de cómo las ideas de Newton se estaban ya formando alrededor de 1664. Encabezó el texto con una declaración en latín que significaba 'Platón es mi amigo, Aristóteles es mi amigo, pero mi mejor amiga es la verdad' mostrándose como un pensador libre desde una etapa temprana. Cómo Newton fue introducido a los textos matemáticos más avanzados de su día está ligeramente menos claro. Según de Moivre, el interés de Newton por las matemáticas comenzó en el otoño de 1663 cuando compró un libro de astrología en una feria de Cambridge y descubrió que no podía entender las fórmulas que contenía. Intentando leer un libro de trigonometría, halló que carecía de conocimientos de geometría y por ello decidió leer la edición de Barrow de los Elementos de Euclides. Los primeros escasos resultados fueron tan flojos que casi abandonó pero él: ... cambió de idea cuando leyó que paralelogramos sobre la misma base y entre las mismas paralelas son iguales. Regresando al principio, Newton leyó todo el libro con un nuevo respeto. Volvió entonces al Clavis Mathemática de Oughtred y a La Geometrie de Descartes. La nueva geometría algebraica y analítica de Viète fue leída por Newton a partir de la edición de Frans van Schooten de los trabajos reunidos de Viète publicada en 1646. Otra obra importante de matemáticas que estudió en esta época fue la recientemente publicada por van Schooten Geometria a Renato Des Cartes que apareció en dos volúmenes en 1659-1651. El libro contenía importantes apéndices de tres de los discípulos de van Schooten, Jan de Witt, Johan Hudde, y Hendrick van Heuraet. Newton también estudió el Algebra de Wallis y parece que su primera obra matemática original partió del estudio de este texto. Leyó el método de Wallis para hallar un cuadrado de igual área que una parábola³ y una hipérbola⁴ que usaba indivisibles. Newton tomó notas sobre el tratamiento de Wallis de las series pero también inventó sus propias pruebas de los teoremas escribiendo: Así lo hace Wallis, pero puede hacerse así ... Sería fácil pensar que el talento de Newton comenzó a emerger a la llegada de Barrow a la cátedra Lucasiana de Cambridge en 1663 cuando se convirtió en un alumno del Trinity College. Ciertamente la fecha encaja con el inicio los estudios matemáticos profundos de Newton. Sin embargo, parecería que la fecha de 1663 es sólo una coincidencia y que no fue hasta algunos años después cuando Barrow reconoció al genio matemático entre sus alumnos. A pesar de algunas pruebas de que su progreso no habían sido particularmente bueno, Newton fue elegido becario el 28 de abril de 1665. Parecería que su genio científico todavía no había emergido, pero lo hizo de forma repentina cuando la peste cerró la universidad en el verano de 1665 y tuvo que regresar a Lincolnshire. Allí, en un periodo de menos de dos años, mientras Newton tenía todavía menos de 25 años, comenzó revolucionarios avances en matemáticas, óptica, física, y astronomía. Mientras Newton permaneció en casa, sentó las bases para el cálculo diferencial e integral, varios años antes de su descubrimiento independiente por Leibniz. El 'método de flujos' (fluxions), como él lo llamó, estaba basado en su crucial y agudo análisis de que la integración de una función es simplemente el procedimiento inverso a su diferenciación. Tomando la diferenciación como la operación básica, Newton produjo métodos analíticos simples que unificaban muchas técnicas separadas desarrolladas anteriormente para resolver problemas aparentemente sin relación tales como hallar áreas, tangentes⁵, las longitudes de las curvas y los máximos y mínimos de las funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671 pero Newton no consiguió publicarlo y no apareció en imprenta hasta que John Coilson produjo una traducción al inglés en 1736. Cuando la Universidad de Cambridge reabrió tras la plaga en 1667, Newton se presentó como candidato para una beca. En octubre fue elegido para una beca menor en el Trinity College pero, tras ser decretado su Grado de Maestría, fue elegido para una beca importante en Julio de 1668 que le permitió cenar en la Mesa de los Discípulos. En Julio de 1669 Barrow intentó asegurarse de que los logros matemáticos de Newton eran dados a conocer al mundo. Envió el texto de Newton De Analysi a Collins de Londres escribiendo: [Newton] me trajo el otro día algunos papeles, en los que anotaba métodos para calcular las dimensiones de magnitudes como la del Sr. Mercator referente a la hipérbola, pero muy general; como también de resolver ecuaciones; lo que supongo que le satisfará a Vd.; y se los enviaré próximamente. Collins mantenía correspondencia con todos los matemáticos prominentes de la época por lo que la acción de Barrow debería haber llevado a un rápido reconocimiento. Collins mostró a Brouncker, el Presidente de la Royal Society, los resultados de Newton (con el permiso del autor) pero después de esto Newton solicitó que se le devolviera su manuscrito. Collins no pudo dar una crónica detallada pero de Sluze y Gregory aprendieron algo de la obra de Newton a través de Collins. Barrow dimitió de la cátedra Lucasiana en 1669 para dedicar su persona a la divinidad, recomendando que Newton (todavía con sólo 27 años) fuera designado en su lugar. Poco después de esto Newton visitó Londres y se reunió dos veces con Collins pero, como escribió a Gregory: ... no conociéndolo bien, no creí apropiado pedirle que comunicara nada. La primera obra de Newton como profesor de la cátedra Lucasiana fue sobre óptica y éste fue el contenido de su primera clase del curso que empezó en 1670. Había alcanzado la conclusión durante los dos años de epidemia de que la luz blanca no es una entidad simple. Cada científico desde Aristóteles había creído que la luz blanca era una entidad simple básica, pero la aberración cromática en la lente de un telescopio convenció a Newton en otro sentido. Cuando pasó un fino haz de luz solar a través de un prisma de cristal, Newton percibió el espectro de colores que se formaba. Arguyó que la luz blanca es en realidad una mezcla de muchos tipos diferentes de rayos que se refractan a ángulos ligeramente diferentes, y que cada tipo diferente de rayo produce un diferente color espectral. Newton llegó por este razonamiento a la conclusión errónea de que los telescopios que usan lentes refractoras sufren aberración cromática. Por consiguiente propuso y construyó un telescopio reflector. En 1672 Newton fue elegido miembro de la Royal Society tras donar un telescopio reflector. También en 1672 Newton publicó su primer artículo científico sobre la luz y el color en el Philosophical Transactions of the Royal Society. El artículo fue en general bien recibido pero Hooke y Huygens objetaron al intento de Newton de probar, sólo por la experimentación, que la luz se compone del movimiento de pequeñas partículas en lugar de por ondas. La acogida que esta publicación recibió no hizo nada por mejorar la actitud de Newton para hacer que sus resultados se conocieran en el mundo. Siempre empujó en dos direcciones, había algo en su naturaleza que quería la fama y el reconocimiento aunque su otra cara temía las críticas y la forma más fácil de evitar ser criticado era no publicar nada. Ciertamente se podría decir que esta reacción a las críticas era irracional, y ciertamente su objetivo de humillar a Hooke en público a causa de sus opiniones era anormal. Sin embargo, debido a la ya gran reputación de Newton, su teoría corpuscular reinó hasta que la teoría ondulatoria fue resucitada en el siglo XIX. Las relaciones de Newton con Hooke se deterioraron aun más cuando, en 1675, Hooke afirmó que Newton había robado algunos de sus resultados en óptica. Aunque los dos hombres hicieron las paces con un intercambio de cartas corteses, Newton se encerró sobre si mismo y se alejó de la Royal Society que él asociaba con Hooke como uno de sus líderes. Retrasó la publicación de una relación completa de sus investigaciones ópticas hasta después de la muerte de Hooke en 1703. 'Optiks' de Newton apareció en 1704. Trataba de la teoría de la luz y el color y de

1. Investigaciones de los colores de finas láminas
2. 'los anillos de Newton' y
3. la difracción de la luz.

Para explicar alguna de sus observaciones tuvo que usar una teoría de ondas de la luz en conjunción con su teoría corpuscular. Otra disputa, esta vez con los Jesuitas Ingleses de Lieja sobre su teoría del color, condujo a un violento intercambio de cartas; después, en 1678, parece haber sufrido una depresión nerviosa. Su madre murió al año siguiente y él se replegó más sobre si mismo, mezclándose lo menos posible con la gente durante unos cuantos años. El mayor logro de Newton fue su obra sobre física y mecánica celeste, que culminó en la teoría de la gravitación universal. Alrededor de 1666 Newton tenía versiones tempranas de sus tres leyes de movimiento. Había descubierto también la ley que daba la fuerza centrífuga de un cuerpo que se movía uniformemente en una trayectoria circular. Sin embargo, no tenía una correcta comprensión de la mecánica del movimiento circular. La nueva idea de Newton de 1666 fue imaginar que la gravedad de la Tierra influenciaba a la Luna, contrarrestando su fuerza centrífuga. A partir de su ley de la fuerza centrífuga y de la tercera ley del movimiento planetario de Kepler, Newton dedujo la ley del cuadrado inverso. En 1679 Newton se carteó con Hooke que había escrito a Newton afirmando: ... que la Atracción siempre está en proporción doble a la Distancia desde el Centro Recíproco ... M Nauenberg escribe a cuenta de los acontecimientos siguientes: Tras su correspondencia de 1679 con Hooke, Newton, por su propia cuenta, encontró una prueba de que la ley de áreas de Kepler era consecuencia de las fuerzas centrípetas, y también mostró que si la curva orbital es una elipse⁶ bajo la acción de fuerzas centrales entonces la dependencia radial de la fuerza es el cuadrado inverso de la distancia desde el centro. Este descubrimiento mostró la importancia física de la segunda ley de Kepler. En 1684 Halley, cansado de la jactancia de Hooke [M Nauenberg]: ... preguntó a Newton qué órbita seguía un cuerpo bajo una fuerza del cuadrado inverso, y Newton respondió inmediatamente que sería una elipse⁶. Sin embargo en De Motu.. él sólo daba probaba el teorema contrario de que si la órbita es una elipse, la fuerza es el cuadrado inverso. La prueba de que las fuerzas del cuadrado inverso implican órbitas de sección cónica⁷ está bosquejada en Cor. 1 a Prop. 13 ⁸ en el Libro 1 de la segunda y tercera edición de los Principia, pero no en la primera edición. Halley persuadió a Newton a escribir un tratado completo de su nueva física y su aplicación a la astronomía. Sobre un año después (1687) Newton publicó la Philosophiae naturalis principia mathematica o Principia como se le ha conocido siempre. A Principia se le reconoce como el más grande libro científico jamás escrito. Newton analizó el movimiento de los cuerpos en medios resistentes y no resistentes bajo la acción de fuerzas centrípetas. Los resultados fueron aplicados a los cuerpos en órbita, proyectiles, péndulos, y a la caída libre cerca de la Tierra. Además demostró que los planetas eran atraídos hacia el Sol por una fuerza que varía con el cuadrado inverso de la distancia y generalizó que todos los cuerpos celestes se atraen mutuamente unos a otros. Una generalización posterior llevó a Newton la ley de la gravitación universal: ... toda la materia atrae a toda la otra materia con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Newton explicó un amplio rango de fenómenos previamente inconexos: las órbitas excéntricas de los cometas, las mareas y sus variaciones, la precesión del eje de la Tierra, y la perturbación del movimiento de la Luna por la gravedad del Sol. Este trabajo hizo a Newton un líder internacional en investigación científica. Los científicos continentales no aceptaban la idea de la acción a distancia y continuaban creyendo en la teoría del vórtice de Descartes en la que las fuerzas funcionan a través del contacto. Sin embargo esto no detuvo la admiración universal por la habilidad técnica de Newton. James II se convirtió en rey de Gran Bretaña el 6 de Febrero de 1685. Se había convertido a la iglesia Católica Romana en 1669 pero cuando llegó al trono tuvo un fuerte apoyo de los anglicanos al igual que de los católicos. Sin embargo se produjeron rebeliones, que James acalló pero comenzó a desconfiar de los protestantes y comenzó a nombrar oficiales católicos para el ejército. Después fue más lejos, nombrando sólo católicos como jueces y oficiales de estado. En cuanto un puesto en Oxford o Cambridge quedaba vacante, el rey nombraba a un católico para cubrirlo. Newton era un protestante acérrimo y se opuso con fuerza a lo que veía como un ataque contra la Universidad de Cambridge. Cuando el rey intentó insistir en que a un monje benedictino se le graduase sin hacer ningún examen o prestar los juramentos requeridos, Newton escribió al rector: Sea valiente y firme en la Ley y no podrá fallar. El rector aceptó el consejo de Newton y fue despedido de su puesto. Sin embargo Newton continuó discutiendo el caso con fuerza preparando documentos para ser usados por la Universidad en su defensa. Sin embargo William de Orange había sido invitado por muchos líderes para llevar un ejército a Inglaterra para derrocar a James. William desembarcó en noviembre de 1688 y James, viendo que los protestantes habían abandonado su ejército, huyó a Francia. La Universidad de Cambridge eligió a Newton, ahora famoso por su fuerte defensa de la universidad, como uno de sus dos miembros en la Asamblea del Parlamento el 15 de enero de 1689. Este Parlamento declaró que James había abdicado y en febrero de 1689 ofreció la corona a William y Mary. Newton estaba en la cima de su fama - visto como un líder de la universidad y uno de los matemáticos más eminentes del mundo. Sin embargo, su elección al Parlamento puede haber sido el suceso que le permitió ver que había una vida en Londres que podía atraerle más que el mundo académico de Cambridge. Tras sufrir una segunda depresión nerviosa en 1693, Newton se retiró de la investigación. Las razones para su depresión han sido discutidas por sus biógrafos y se han propuesto muchas teorías: envenenamiento químico como resultado de sus experimentos alquímicos; frustración con sus investigaciones; el fin de una amistad personal con Fatio de Duillier, un matemático suizo residente en Londres; y problemas resultantes de sus creencias religiosas. El propio Newton culpaba a la falta de sueño pero esto era casi con certeza un síntoma de la enfermedad más que su causa. Parece haber poco motivo para suponer que la enfermedad fuera otra cosa que depresión, una enfermedad mental que debió haber sufrido desde muy atrás en su vida, quizá agravada por alguno de los acontecimientos que acabamos de mencionar. Newton decidió abandonar Cambridge para ocupar un puesto de gobierno en Londres convirtiéndose en el Guardián de la Casa Real de la Moneda en 1696 y en Maestre en 1699. Sin embargo, no dimitió de sus puestos en Cambridge hasta 1701. Como Maestre de la Casa de la Moneda, añadiendo los ingresos de sus posesiones, vemos que Newton se hizo un hombre muy rico. Para mucha gente un puesto como el de Maestre de la Casa de la Moneda habría sido tratado como simplemente una recompensa por sus logros científicos. Newton no lo trató así e hizo una gran contribución al trabajo de la Casa de la Moneda. La dirigió durante el difícil periodo de reacuñación y fue particularmente activo en las medidas para prevenir la falsificación.. En 1703 fue elegido presidente de la Royal Society y fue reelegido cada año hasta su muerte. Fue armado caballero en 1705 por la Reina Ana, el primer científico en recibir tal honor por su trabajo. Sin embargo la última parte de su vida no fue fácil, dominada en muchos aspectos por la controversia con Leibniz sobre quién había inventado el cálculo infinitesimal. Dada la furia que Newton había mostrado a lo largo de su vida cuando era criticado, no sorprende que se desencadenara en un temperamento irracional dirigido contra Leibniz. Hemos dado detalles de su controversia en la biografía de Leibniz y referimos al lector a ese artículo para más detalles. Quizá lo único que merece la pena citar aquí es cómo Newton usó su posición como presidente de la Royal Society. En uso de su potestad, él nombró un comité 'imparcial' para decidir si él o Leibniz fue el inventor del cálculo infinitesimal. Escribió el informe oficial del comité (aunque por supuesto no aparece bajo su nombre) que fue publicado por la Royal Society, y después escribió una reseña (de nuevo de forma anónima) que apareció en el Philosophical Transactions of the Royal Society. El asistente de Newton, Whiston, había contemplado su cólera de primera mano. Escribió: Newton fue uno los más temerosos, cautelosos y recelosos temperamentos que jamás conocí. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive Notas:

1. Grammar School es un tipo de escuela en la Gran Bretaña que en aquel entonces se enfocaban a que sus alumnos aprendieran principalmente Latín y Griego, por lo general hasta que cumplían los 14 años. Newton asistió entre los 12 y los 17 años. Al terminar sus estudios, los alumnos podían ir a la universidad o a hacer estudios eclesiásticos. Hoy en día estas escuelas siguen existiendo pero ya dan una educación completa al igual que cualquier bachillerato (comprehensive schools). La escuela a la que asistió Newton aún existe hoy.
2. Un Colegio (College) en Gran Bretaña es una parte de una universidad pero no tiene poder para dar títulos. El Colegio prepara a los alumnos para obtener un grado y una universidad otorga el título.
3. Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco). También se puede definir usando coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x².
4. Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax² - by² = 1.
5. Una tangente a una curva en el punto p es la mejor aproximación lineal a la curva cerca de ese punto. Puede verse como el límite de todas las secantes desde el punto p a otros puntos cercanos a p. Si dos curvas tienen una tangente común en el punto de intersección, entonces se dice que las curvas se tocan o son tangentes.
6. Una elipse es una de las secciones cónicas. Puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e < 1. A e se le llama la excentricidad. La elipse también se le puede definir mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax² + by² = 1.
7. Una cónica o sección cónica es una de las curvas (círculo, parábola, hipérbola o elipse) que pueden obtenerse intersectando un plano y un cono (de doble lado). Ver por ejemplo esta imagen
8. Corolario 1 a la Proposición 13.

Bibliografía (en inglés)

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Otros sitios web

• Isaac Newton en Redescolar
• Newton en la Historia de las matemáticas a través de la imagen.