¿Cómo hemos llegado a conocer a los matemáticos de la antigua Grecia?

Hay dos artículos diferentes: ¿Qué sabemos sobre las matemáticas griegas?, y ¿Cómo hemos llegado a conocer a los matemáticos de la antigua Grecia?. Antes de leer este artículo sobre cómo podemos indagar sobre las vidas de los matemáticos griegos, sería conveniente leer primero el artículo anterior sobre cómo los trabajos de esos matemáticos han llegado hasta nosotros. Algunos matemáticos añadieron fechas a sus trabajos, y éstas se ha conservado durante el proceso de copiado descrito en el artículo ¿Qué sabemos sobre las matemáticas griegas?. Otros son citados por otros autores y se puede por lo menos estimar una fecha. En el resto de casos son necesarias evidencias mucho más indirectas. El siguiente tipo de razonamiento es el típico de los usados. ¿Qué trabajos cita el matemático? Obviamente el matemático tuvo que vivir después de que esos trabajos fueran escritos. ¿Qué trabajos citan al matemático? Hay que ser especialmente cuidadoso cuando se usa información de este último tipo, ya que durante el proceso de copiado de los textos se pudieron haber añadido referencias adicionales que el autor original no habría podido conocer al ser de fechas posteriores. Este metodología puede acotar periodos de tiempo de más de 200 años durante los cuales el matemático podría haber vivido. Son particularmente útiles los casos en los que el científico hacía observaciones astronómicas, ya que habitualmente éstas pueden ser datadas con gran precisión y, como veremos en el ejemplo más adelante, incluso tener datados con precisión algunos matemáticos, puede ayudar a fechar a otros. Como ejemplo, vamos a analizar cómo han sido determinadas las fechas de Diocles dadas en este artículo. Primero, veamos de qué información disponía Heath cuando escribió su famoso libro [1], A history of Greek mathematics (Historia de las matemáticas griegas), y que empezó en 1913. En el siglo quinto después de Cristo, Proclo escribió su Comentario a Euclides, que es nuestra principal fuente de información sobre el nacimiento de la geometría griega. Este comentario ha sobrevivido, y en el trabajo Proclo escribió que Geminus usó el término 'cisoide' para una curva que describe. Heath sabía, por otras fuentes que describiremos en otro momento, que la 'cisoide' fue usada por Diocles para resolver el problema clásico de duplicar el cubo (y casi con seguridad fue inventada por él para ese propósito). Por lo tanto, Heath puede deducir que [1] :

... Diocles debe haber precedido a Geminus.

La otra vía para la datación de Diocles que fue deducida por Heath viene de Eutocio, que escribió comentarios en tres trabajos de Arquímedes en el primer cuarto el siglo sexto después de Cristo. El comentario de Eutocio en Sobre la esfera y el cilindro II de Arquímedes incluye una cita de Diocles resolviendo el siguiente problema de Arquímedes (ver como ejemplo [1]):

Cortar una esfera dada con un plano de forma que los volúmenes resultantes cumplan una relación dada.

Aunque Arquímedes promete una solución más adelante en su texto, ésta no aparece. Por su parte, Eutocio cita una solución de Diocles para este problema. En la cita de Diocles se hace referencia a Apolonio. Eutocio afirma que la cita que él da es de Sobre los espejos incendiarios, de Diocles, pero en la época en la que Heath escribió su libro no se había encontrado ninguna versión del texto de Diocles, ni en griego ni en latín. Heath deduce de las citas en Eutocio que Diocles [1]:

... fue posterior a Arquímedes y Apolonio. Por tanto debe haber aparecido hacia el final del siglo segundo o al principio del tercero antes de Cristo.

También añade [1]:

Diocles... escribiendo un siglo o más después de Apolonio...

Así que las fechas deducidas por Heath, digamos del 130 al 70 antes de Cristo, se basan en las dataciones que el propio Heath había hecho de Apolonio y Geminus, ambas inexactas. El rango de fechas (después de Apolonio y antes de Geminus) es convincente pero, como Toomer escribe en [2]:

No hay base para un refinamiento mayor de Heath

En el artículo La cissoid et Diocles (La cisoide y Diocles), escrito por Paul Tannery, que ciertamente era conocido por Heath, estaba anotado que la referencia a Apolonio en el comentario de Eutocio a Arquímedes Sobre la Esfera y el cilindro II debía ser un añadido de Eutocio, pero claramente Heath debió pensar que Paul Tannery estaba equivocado. Sin embargo el tiempo demostró que Paul Tannery estaba en lo cierto, y Heath equivocado. Antes de proseguir con la descripción de lo que fue descubierto desde que Heath escribió Una historia de las matemáticas griegas, es razonable preguntar: ¿realmente importa cuándo vivió Diocles? Si de hecho Diocles vivió un siglo o más después de Apolonio, como 'demuestra' Heath, entonces estaría muy familiarizado con las Cónicas de Apolonio, y su propio trabajo debería ser evaluado bajo esa luz. Sin embargo, si Diocles no conocía la obra de Apolonio, entonces su trabajo debería ser considerado mucho más innovador que en caso contrario. Llegamos ahora al trabajo de Toomer. Éste presenta una traducción al árabe de Sobre los espejos incendiarios de Diocles, de un manuscrito copiado en 1462, junto con una traducción y comentarios en inglés. La publicación de este trabajo en 1976 constituyó un hecho de la mayor importancia en la historia de las matemáticas, añadiendo al puzzle una pieza largo tiempo perdida. Pero, ¿cómo nos ayuda saber cuándo vivió Diocles? Para responder recurrimos a la introducción de Diocles a Sobre los espejos incendiarios en la traducción de Toomer [2]:

Pythian el geómetra de Tasos escribió una carta a Conón es la que le pedía cómo obtener una superficie de espejo tal que cuando fuera situada de cara al sol, los rayos que se reflejasen en él formasen una circunferencia. Y cuando Zenodoro el astrónomo vino a Arcadia y nos fue presentado, nos preguntó cómo obtener una superficie de espejo tal que cuando sea situada de cara al sol, los rayos reflejados se unan en un punto, y de esta forma provoquen la ignición.

Toomer apunta que su traducción de cuando Zenodoro el astrónomo vino a Arcadia y nos fue presentado podría, quizás, ser traducido cuando Zenodoro el astrónomo vino a Arcadia y fue seleccionado para un puesto docente aquí. Esto ciertamente permite dar fechas muy exactas para Diocles, ya que la datación de Zenodoro es conocida con mucha precisión (¡aunque explicar cómo sabemos esto es otra historia!). El análisis del texto de Sobre los espejos incendiarios muestra que Paul Tannery estaba en lo correcto, y Heath estaba equivocado: Eutocio fue el que insertó la referencia a Apolonio. De hecho Eutocio hizo algo más que eso, ya que aunque afirma dar una cita exacta, realmente rescribe la prueba de Diocles en un estilo posterior de forma que convierte el texto de Diocles en lo que para él sería un estilo moderno. Entonces, ¿de qué forma encajan las fechas de Apolonio y Diocles? ¿Conocía Diocles las Cónicas de Apolonio? Entonces podemos afirmar con seguridad que Apolonio y Diocles fueron contemporáneos, siendo Diocles quizás el mayor. ¿Muestra el texto Sobre los espejos incendiarios si Diocles conocía el trabajo de Apolonio? Aquí la evidencia es algo contradictoria. Todo el trabajo está escrito en un lenguaje usado para cónicas que precedía a la contribución de Apolonio excepto en un teorema, Proposición 8, donde se usa la terminología de Apolonio. Por supuesto algunos copistas posteriores podrían haber insertado esta terminología más moderna en la Proposición 8 pero, como señala Toomer, que alguien hiciera el cambio únicamente en esta proposición y dejara la terminología antigua en el resto no es creíble. Queda la posible explicación, dada por Toomer en [2], de que Diocles conociera el trabajo de Apolonio (posiblemente antes de su publicación) e hiciera los cambios en su trabajo casi acabado. Esto, sin embargo, deja la incógnita de por qué Diocles hizo el cambio en un solo sitio. Se han propuesto varias soluciones pero esto nos aleja de la cuestión de la datación que estamos analizando en este artículo. Cuando preguntábamos cómo encajaban las dataciones de Apolonio y Diocles, estábamos pensando en las de Apolonio como conocidas mientras que las de Diocles son menos seguras. Consideraremos posteriormente en este artículo cómo se ha obtenido la información referente a Apolonio, pero antes de seguir con esta discusión, merece la pena meditar sobre la certeza que tenemos hoy por hoy de que la información sobre Diocles es correcta. ¿Estamos seguros de que las fechas de Diocles dadas antes están por lo menos próximas a ser correctas? Desafortunadamente la respuesta tiene que ser negativa. No podemos estar seguros. Aunque el argumento se basa en el mejor conocimiento disponible hasta el momento, no podemos descartar que alguna nueva evidencia encontrada en el futuro señale en otra dirección. Es tentador pensar que, dados los hechos que se conocen ahora, esto no podría ocurrir. Sin embargo, para dar una posible fuente de dudas, cabe indicar que Toomer puede haber identificado incorrectamente a Zenodoro, ya que escribe [2]:

Aunque el texto árabe está levemente dañado en los dos sitios donde se menciona el nombre de esta persona, esa es la única forma plausible de leer el nombre.

El otro punto que merece la pena mencionar es que debe haber otros matemáticos cuyas dataciones han sido deducidas usando argumentos tan lógicos como los que Heath usó para Diocles, pero sin embargo son también incorrectas. Analicemos ahora las otras formas de obtener información acerca de los matemáticos Helenos. A menudo una información que se puede encontrar en los trabajos matemáticos es una dedicatoria a un benefactor. Este dato puede proporcionar información para fechar al matemático si el benefactor está correctamente datado, al igual que casi seguro permitirá identificar el lugar donde el matemático realizó su trabajo. Otros trabajos están escritos en forma de carta dirigida a un colega, y muchos contienen información de por qué fueron elaborados. Como ejemplo, examinemos el problema mencionado anteriormente de la investigación sobre Apolonio. Para esto, su famoso trabajo Cónicas es una fuente extremadamente valiosa, y de hecho es prácticamente nuestra única fuente. El primer libro de Cónicas fue enviado por Apolonio a Eudemo de Pérgamo. Veamos alguna información sobre la ciudad y estado de Pérgamo. Esta era una ciudad a unos 25 kilómetros del mar Egeo, donde hoy se sitúa la población turca de Bergama (Izmir). El gobernante Eumenes I había declarado a Pérgamo estado independiente en el año 263 antes de Cristo, y estuvo en el poder hasta que fue sucedido por su sobrino Atalo I (269 a 197 antes de Cristo) en 241. Después de derrotar a los gálatas en 230, Atalo se autoproclamó rey de Pérgamo. A continuación vino un período de tratados políticos (especialmente con Roma) y de batallas con los estados vecinos, con guerras frecuentes. El libro primero de Cónicas comienza:

De Apolonio a Eudemo, saludos. Espero que la salud te acompañe y el resto de cosas estén como deseas; a mí también las cosas me van moderadamente bien. Durante el tiempo que estuvimos juntos en Péragmo, me di cuenta de tu deseo de conocer mi trabajo sobre las cónicas; por ello te envío mi primer libro, una vez corregido, y te mandaré los restantes cuando los haya terminado a mi agrado. Me atrevo a decir que recuerdas que te comenté que comencé la investigación sobre esta materia a petición de Naucrates el geómetra, cuando vino a Alejandría y estuvo conmigo y, cuando lo había desarrollado ya en ocho libros, se los di precipitadamente, con demasiada premura, porque él estaba a punto de zarpar...

Esta es una introducción valiosísima. No sólo nos dice que Apolonio estaba viviendo en Alejandría, sino que, por supuesto, visitó Pérgamo. También da una idea de la forma en que los matemáticos de la época viajaban, haciéndose visitas mutuas y estimulándose unos a otros con preguntas e ideas. El segundo libro de Las cónicas fue también enviado por Apolonio a Eudemo de Pérgamo:

De Apolonio a Eudemus, saludos. Te he enviado a mi hijo Apolonio con el segundo libro de cónicas, como acordamos. Estúdialo pues con cuidado y difunde el conocimiento entre aquellos que merezcan conocer tales cosas. A Filonides el geómetra, al que te presenté en Éfeso, si acaso va a Pérgamo instrúyele también. Cuídate, y que te vaya bien.

En el texto vemos que, en la fecha en que envió este libro, Apolonio tenía suficiente edad como para tener un hijo (también llamado Apolonio) que podía viajar a Pérgamo para entregar el segundo libro. También es de notar que Filonides, Eudemo de Pérgamo y Apolonio se habían encontrado en Éfeso, una nueva indicación de lo que viajaban estos matemáticos. Aunque el libro III de Las cónicas no tiene prefacio en la forma en que nos ha llegado a nosotros, por lo que se indica en el libro IV parece que, sin embargo, casi seguro tenía uno cuando fue enviado a Pérgamo. De nuevo, el libro III fue enviado a Eudemo de Pérgamo pero, antes de que Apolonio hubiese terminado el libro IV, Eudemo había muerto. Por tanto Apolonio envió el libro IV a Atalo I. Como mencionamos antes, éste era el gobernante de Pérgamo desde 241 a 197 antes de Cristo. Esta información nos proporciona un terreno firme en el que asentar una estimación de los años en los que vivió Apolonio.

De Apolonio a Attalus, saludos. Hace algún tiempo expuse y envié a Eudemo de Pérgamo los tres primeros libros de mis cónicas, que he recogido en ocho libros, pero como él ha fallecido, y dado tu deseo de tener mis trabajos, he resuelto dedicarte el resto de los libros.

Vemos ahora que, además de la reputación por sus habilidades militares y diplomáticas, Atalo también tenía buena reputación como mecenas generoso de las artes. De hecho es probable que hubiera proporcionado a Apolonio más apoyo que el mero deseo de poseer su trabajo. Por supuesto se pueden encontrar referencias al matemático en cuya vida estemos interesados en otra literatura. Hay ciertas dificultades con esta literatura - estamos seguros de que se refiere a la persona correcta (por ejemplo Euclides era un nombre muy común); agrupar varias porciones de este tipo de información puede conducir a inconsistencias que deben ser resueltas; y a cada paso debemos hacer una evaluación sobre la precisión de la información. Aquí debemos ser especialmente cuidadosos para no cometer el error de pensar que si la misma información proviene de varias fuentes debe ser entonces correcta. Puede ocurrir que todas las fuentes hayan recogido la información del mismo sitio. Para proporcionar un ejemplo que pudiera ayudar a colocar los hechos en perspectiva, damos un ejemplo todavía relacionado con los hechos descritos anteriormente. En un papiro descubierto en Herculano se encontró información muy relevante. Cuando el Vesubio entró en erupción en 79 después de Cristo, Herculano, junto con Pompeya y Stabiae, fue destruida. Herculano fue enterrada bajo una masa compacta de material de 16m de espesor que conservó la ciudad hasta las excavaciones que comenzaron en el siglo XVIII. Las condiciones especiales de humedad del suelo conservaron la madera, los tejidos, comida y en particular papiros que nos proporcionan información importante. Uno de esos papiros dice:

Filonides era un discípulo, el primero, de Eudemo, y posteriormente de Dionisodoro, el hijo de Dionisodoro el Caunio.

El Eudemo referido en este texto es Eudemo de Pérgamo y Filonides es el geómetra con el que se encontró Apolonio en Éfeso. Así tenemos una pequeña pieza más el rompecabezas, el hecho de que Filónides fue discípulo de Eudemo de Pérgamo. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive Bibliografía

1. T L Heath, A history of Greek mathematics I, II, Oxford, 1921.
2. G J Toomer, Diocles on burning mirrors, Berlin, 1976.