El teorema de Pitágoras en las matemáticas babilónicas

En este artículo examinamos cuatro tabletas babilónicas todas las cuales tienen alguna colección con el teorema de Pitágoras. Sin duda los babilonios estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras. Una traducción de una tableta de arcilla babilónica que se conserva en el Museo Británico dice lo siguiente:

4 es el largo y 5 la diagonal. ¿Cuál es el ancho? Su tamaño es desconocido. 4 veces 4 es 16. 5 veces 5 es 25. Restas 16 de 25 y quedan 9. ¿Cuántas veces cuánto debo tomar para obtener 9? 3 veces 3 es 9. 3 es el ancho.

Todas las tabletas que queremos considerar en detalle vienen del mismo periodo aproximadamente: los tiempos del Antiguo Imperio Babilónico que floreció en Mesopotamia entre el 1900 a. C. y el 1600 a. C. #1#Nuestro artículo sobre las matemáticas de Babilonia da algunos antecedentes sobre cómo se desarrolló esa civilización y los antecedentes matemáticos que heredaron. Las cuatro tabletas que nos interesan aquí las llamaremos la tableta Yale YBC 7289, Plimpton 322 (mostrada abajo), la tableta Susa y la tableta Tell Dhibayi. Digamos algo sobre ellas antes de describir las matemáticas que contienen. La tableta Yale YBC 7289 que describimos es una de muchas que se forman la Colección Babilónica Yale de la Universidad de Yale. Consiste es una tableta sobre la cual aparece un diagrama. El diagrama es un cuadrado de lado 30 con sus diagonales dibujadas. La tableta y su importancia fueron discutidas en [5] y más recientemente en [18]. #2#Se puede ver en la foto que la esquina superior izquierda de la tableta está dañada y que le falta un pedazo cerca del lado derecho, cerca del centro. No se sabe con exactitud su edad pero se estima que proviene de entre el 1800 a. C. y el 1650 a. C. Se cree que es solamente un pedazo de una tableta más grande, el resto de la cual ha sido destruida y en un principió se pensó que era un registro de transacciones comerciales al igual que muchas otras tabletas. Sin embargo, Neugebauer y Sachs en [5] dan una nueva interpretación y desde entonces ha sido objeto de mucho interés. La tableta Susa fue descubierta en el actual pueblo de Shush en la región de Khuzistán en Irán. El pueblo está a unos 350 km de la antigua ciudad de Babilonia. W K Loftus identificó éste lugar como un importante sitio arqueológico ya hacia 1850 pero no se excavó sino hasta mucho después. La tableta que nos interesa aquí investiga cómo calcular el radio de un círculo usando los vértices de un triángulo isósceles. Finalmente, la tableta Tell Dhibayi fue una de entre 500 tabletas aproximadamente que los arqueólogos encontraron cerca de Bagdag en 1962. La mayor parte se refieren a la administración de una antigua ciudad la cual floreció en tiempos de Ibalpiel II de Eshunna y que datan de alrededor del 1750. La tableta que nos concierne es una que no se relaciona con la administración sino que presenta un problema geométrico en el que se piden las dimensiones de un rectángulo cuya área y diagonal se conocen. Antes de revisar las matemáticas contenidas en estas cuatro tabletas debemos decir algo sobre su importancia para la comprensión del alcance de las matemáticas babilónicas. Primero debemos tener cuidado de no leer en las matemáticas antiguas ideas que podemos ver claramente hoy pero que el autor nunca tuvo en mente. Por otro lado, debemos tener cuidado de no subestimar la importancia de las matemáticas solamente porque fueron producidas por matemáticos que pensaban de manera muy distinta a los de hoy. Como comentario final sobre lo que nos dicen estas cuatro tabletas sobre las matemáticas babilónicas, debemos estar conscientes que casi todos los logros matemáticos de los babilonios se han perdido, aun si hubieran sido registrados todos en tabletas de arcilla; y aun si estas cuatro tabletas pueden ser consideradas especialmente importantes entre las que sobreviven, pueden no representar lo mejor de las matemáticas babilónicas. No hay problema para entender de qué trata la tableta Yale YBC 7289 #3#Tiene sobre ella un diagrama de un cuadrado con 30 en un lado; las diagonales están dibujadas dentro y cerca del centro está escrito 1,24,51,10 y 42,25,35. Claro que estos números fueron escritos en numerales babilónicos en base 60 (ver nuestro artículo sobre numerales babilónicos). Ahora bien, los números babilónicos son siempre ambiguos y no hay indicación de dónde termina la parte entera y comienza la fraccional. Suponiendo que el primer número es 1; 24,51,10 y convirtiéndolo al sistema decimal tenemos 1.414212963 mientras que √2 = 1.414213562. Calculando 30 × [ 1;24,51,10 ] se obtiene 42;25,35 que es el segundo número. La diagonal de un cuadrado de lado 30 se encuentra multiplicando 20 por la aproximación a √2. Esto muestra una bella comprensión del teorema de Pitágoras. Sin embargo, aún más significativa es la cuestión de cómo fue que los babilonios encontraron esta asombrosamente buena aproximación a √2. Varios autores, ver por ejemplo [2] y [4], han conjeturado que los babilonios usaban un método equivalente al de Herón. Sugieren que empezaban por usar una primera aproximación (adivinando), digamos x. Después encontraban e = x² - 2 que es el error. Entonces (x - e/2x)² = x² - e + (e/2x)² con lo cual tenían una mejor aproximación ya que, si e es pequeño, entonces (e/2x)² será muy pequeño. Continuando el proceso con esta nueva aproximación a √2 se logra una aproximación aún mejor y así sucesivamente. De hecho, como señala Joseph en [4], si se empieza con x = 1, solamente se necesitan dos pasos del algoritmo para obtener la aproximación 1;24,51,10. Esto sin duda es posible y el conocimiento que tenían los babilonios sobre las cuadráticas da más peso aún a esta afirmación. Sin embargo, no hay evidencia del uso del algoritmo en ningún otro caso por lo que su empleo deberá seguir considerándose simplemente como una posibilidad remota. Me permito [EFR] sugerir una alternativa. Los babilonios produjeron tablas de cuadrados, de hecho toda su comprensión sobre la multiplicación fue construida alrededor de los cuadrados; así que talvez un acercamiento más obvio para ellos hubiera sido dar dos primeras aproximaciones, una por arriba y otra por abajo, digamos a y b. Tomar su promedio (a + b)/2 y el cuadrado de éste. Si el cuadrado es mayor que 2, entonces reemplazar b por esta nueva cota superior mejorada; si el cuadrado es menor a 2, entonces reemplazar a por el promedio. Continuar con el algoritmo. Ahora bien, este procedimiento sin duda requiere más pasos para llegar a la aproximación sexagesimal 1;24,51,10. De hecho, si se empieza con a = 1 y b = 2, lleva 19 repeticiones del algoritmo como muestra la siguiente tabla:

paso	decimal	sexagesimal
1	1.500000000	1;29,59,59
2	1.250000000	1;14,59,59
3	1.375000000	1;22,29,59
4	1.437500000	1;26,14,59
5	1.406250000	1;24,22,29
6	1.421875000	1;25,18,44
7	1.414062500	1;24,50,37
8	1.417968750	1;25, 4,41
9	1.416015625	1;24,57,39
10	1.415039063	1;24,54, 8
11	1.414550781	1;24,52,22
12	1.414306641	1;24,51;30
13	1.414184570	1;24,51; 3
14	1.414245605	1;24,51;17
15	1.414215088	1;24,51;10
16	1.414199829	1;24,51; 7
17	1.414207458	1;24,51; 8
18	1.414211273	1;24,51; 9
19	1.414213181	1;24,51;10

Sin embargo, a los babilonios no los asustaban los cálculos y podrían haber estado dispuestos a continuar con este cálculo directo hasta llegar a una cifra exacta al tercer lugar sexagesimal. #4#La tableta tiene cuatro columnas con 15 renglones. La última columna es la más sencilla de entender ya que da el número del renglón: 1, 2, 3, ..., 15. El hecho notable, señalado por Neugebaur y Sachs en [5], es que en cada renglón el cuadrado de número c en la columna 3 menos el cuadrado del número b en la columna 2 es un cuadrado perfecto, digamos h. c² - b² = h² Así que la tabla es una lista de ternas pitagóricas enteras. Ahora bien, esto no es totalmente cierto ya que Neugebauer y Sachs creen que el escriba cometió cuatro errores de transcripción, dos en cada columna, y esta interpretación es necesaria para que la regla funcione. Los errores se considera que son genuinos, sin embargo, ya que 8,1 fue copiado por el escriba como 9,1. La primera columna es más difícil de entender, en especial ya que falta un pedazo de la tableta en esa parte. Sin embargo, usando la notación de arriba, puede verse que la primera columna es exactamente (c/h)². Hasta aquí todo va bien pero si uno se pone a escribir ternas pitagóricas, se encuentra varias mucho más sencillas que las que aparecen en la tableta. Por ejemplo, la terna pitagórica 3, 4, 5 no aparece como tampoco lo hace 5, 12, 13 y de hecho la más pequeña en la tableta es 45, 60, 75 (15 veces 3, 4, 5). También, las columnas no aparecen en ningún orden lógico excepto que los números de la primera descienden de forma regular. El rompecabezas entonces es cómo fueron encontrados los números y por qué están en la tableta estas ternas pitagóricas en particular. Varios historiadores (ver por ejemplo [2]) han sugerido que la columna 1 está relacionada con la función secante. Sin embargo, como comenta Joseph [4]:

Esta interpretación es un tanto fantasiosa

Zeeman ha hecho una observación fascinante. Ha señalado que si los babilonios usaron las fórmulas h = 2mn, b = m² + n² para generar ternas pitagóricas, entonces hay exactamente 16 de ellas que satisfacen n ≤ 60, 30° ≤ t ≤ 46°, y tan²t = h²/b² tiene una expansión sexagesimal finita (que es equivalente a que m, n, b tengan a 2, 3 y 5 como sus únicos divisores primos. Ahora bien, 15 de las 16 ternas pitagóricas que satisfacen las condiciones de Zeeman aparecen en la tableta Plimpton 322. ¿Es este el primer teorema matemático de clasificación que se conoce? Aunque no podemos creer que Zeeman esté totalmente en lo cierto, sí sentimos que esta explicación debe estar en el camino correcto. Para hacer una buena reseña sobre la tableta Plimpton 322 debemos añadir que no todos los historiadores están de acuerdo en que esta tableta se refiera a ternas pitagóricas. Por ejemplo, Exarchakos, en [17], afirma que la tableta está relacionada a la solución de ecuaciones cuadráticas y que no tienen nada que ver con las ternas pitagóricas:

... demostramos que en esta tableta no hay ninguna evidencia de que los babilonios conocieran el teorema de Pitágoras ni las ternas pitagóricas

Siento que los argumentos son débiles, en particular ya que hay numerosas tabletas que muestran que los babilonios de este periodo entendían bien el teorema de Pitágoras. Otros autores, aunque aceptan que la tableta Plimpton 322 es una colección de ternas pitagóricas, han argumentado que los babilonios tenían, como escribe Viola en [31], un uso práctico para dar:

... un método general para calcular aproximadamente área de triángulos.

La tableta Susa plantea un problema sobre un triángulo isósceles cuyos lados miden 50, 50 y 60. El problema consiste en encontrar el radio de un círculo que pase por los tres vértices. #5#Aquí hemos llamado A, B, C a los vértices del triángulo y O al centro del círculo. La perpendicular AD se dibuja desde A hasta el lado BC. Como el triángulo ABD es un triángulo rectángulo entonces, usando el teorema de Pitágoras, (AD)² = (AB)² - (BD)², por lo que AD = 40. Si se denota por x al radio del círculo, entonces AO = OB = x y OD = 40 - x. Usando el teorema de Pitágoras nuevamente en el triángulo OBD tenemos x² = OD² + DB². Entonces x² = (40 - x)² + 30² lo cual da x² = 40² = 80x + x² + 30² y, por lo tanto, 80x = 2500 o, en sexagesimal, x = 31;15. Finalmente, consideremos el problema de la tableta Tell Dhibayi. Se buscan los lados de un rectángulo cuya área seca 0;45 y cuya diagonal mida 1;15. Para nosotros esta es una tarea muy sencilla de solución de ecuaciones. Si los lados miden x, y, tenemos que xy = 0.75 y que x² + y² = (1.25)². Sustituyendo y = 0.75/x en la segunda ecuación obtenemos una cuadrática en x² que puede resolverse fácilmente. Este, sin embargo, no es el método dado por los babilonios para resolverlo. Esto no es sorprendente ya que se basa en nuestra comprensión algebraica de las ecuaciones. La manera en que se resuelve en la tableta Tell Dhibayi es de hecho, me atrevo a sugerir, mucho más interesante que el método moderno. Aquí está el método de la tableta Tell Dhibayi. Mantenemos la notación moderna x y y en cada pasa por claridad pero podríamos hacer los cálculos en notación sexagesimal (como se hace por supuesto en la tableta).

Calcular 2xy = 1;30. Restando de x² + y² = 1;33,45 se obtiene x² + y² - 2xy = 0;3,45. Tomando la raíz cuadrada se tiene x - y = 0;15. Dividiento por 2, (x - y)/2 = 0;7,30. Dividiendo x² + y² - 2xy = 0;0,56,15. Al sumarle (x + y)/2 = 0;52,30 a (x - y)/2 = 0;7,30 se tiene x = 1. Restando (x - y)/2 = 0;7,30 de (x + y)/2 = 0;52,30 se obtiene y = 0;45. Por lo tanto, los lados del rectángulo miden x = 1 y y = 0;45.

¿No es esto un bella pieza de matemáticas? Recuerda que tiene 3750 años de antigüedad. Debemos estarles agradecidos a los babilonios por registrar esta pequeña obra maestra en tabletas de arcilla que podemos apreciar hoy en día. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive Bibliografía

2. R Calinger, A conceptual history of mathematics (Upper Straddle River, N. J., 1999).
4. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
5. O Neugebauer and A Sachs, Mathematical Cuneiform Texts (New Haven, CT., 1945).
17. T G Exarchakos, Babylonian mathematics and Pythagorean triads, Bull. Greek Math. Soc. 37 (1995), 29-47.
18. D Fowler and E Robson, Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context, Historia Math. 25 (4) (1998), 366-378.
31. T Viola, On the list of Pythagorean triples ('Plimpton 322') and on a possible use of it in old Babylonian mathematics (Italian), Boll. Storia Sci. Mat. 1 (2) (1981), 103-132. Más referencias bibliográficas (31 libros/artículos)