La numeración babilonia

La civilización babilonia de Mesopotamia reemplazó a las civilizaciones sumeria y acadia. En nuestro artículo sobre las matemáticas babilonias damos el trasfondo histórico de estos acontecimientos. Ciertamente, en cuanto al sistema numeral los babilonios heredaron ideas de los Sumerios y de los Acadios. De los sistemas numerales de estos predecesores provenía la base 60, es decir, el sistema sexagesimal. Sin embargo, ni el sistema acadio ni el sumerio eran posicionales, y este avance de los Babilonios fue indudablemente su mayor logro en el desarrollo del sistema numérico. Algunos incluso dirían que fue su mayor logro en matemáticas. A menudo, al oír que el sistema numérico babilónico era de base 60, la primera reacción de la gente es: cuántos símbolos numéricos específicos tenían que haber aprendido. Por supuesto, este comentario se deriva del conocimiento de nuestro propio sistema decimal, que es un sistema posicional con nueve símbolos específicos y un símbolo cero para denotar un lugar vacío. Sin embargo, en lugar de tener que aprender 10 símbolos como tenemos que hacer nosotros para usar nuestro sistema decimal, los Babilonios sólo tenían que aprender dos símbolos para producir su sistema posicional de base 60. Ahora bien, aunque el sistema babilónico era un sistema posicional de base 60, contenía ciertos vestigios de un sistema de base 10. Esto es así porque cada uno de los 59 números que van en cada posición se construye con un símbolo de unidades y otro de decenas. Estos son los 59 símbolos construidos con estos dos símbolos #1# Dado un sistema posicional, es necesaria una convención que determine cuál de los extremos corresponde a las unidades. Por ejemplo, en decimal 12345 representa

1 × 10⁴ + 2 × 10 ³ + 3 × 10² + 4 × 10 + 5.

Pensando en ello, es quizá ilógico, puesto que leemos de izquierda a derecha así que al leer el primer dígito no conocemos su valor hasta haber leído el número completo para determinar qué potencia de 10 está asociada a esta primera posición. El sistema posicional sexagesimal babilónico ordena los números con esta misma convención, de modo que la posición del extremo de la derecha es para las unidades hasta 59, la siguiente hacia la izquierda representa 60 × n con 1 ≤ n ≤ 59, etc. Adoptando la notación que separa los numerales con comas tenemos que, por ejemplo, 1,57,46,40 representa el número sexagesimal

1 × 60³ + 57 × 60² + 46 × 60 + 40

que, en notación decimal, es 424 000. Este es 1,57,46,40 en numerales babilonicos #2#Ahora bien, existe un problema en potencia con este sistema. Puesto que el dos se representa por dos guarismos cada uno de los cuales representa una unidad y 61 se representa por un guarismo uno en la primera posición para la unidad y otro guarismo idéntico de una unidad en la segunda posición, los números sexagesimales babilonios 1,1 y 2 tienen en esencia la misma representación. Sin embargo, esto no suponía un problema en realidad ya que el espaciado de los guarismos permitía distinguirlos. En el símbolo de 2, los dos guarismos que representan la unidad se tocan, haciendo un único símbolo. En el número 1,1 hay un espacio entre ellos. Un problema mucho más grave era que no había un cero para colocar en las posiciones vacías. Los números sexagesimales 1 y 1,0 (1 y 60 respectivamente en decimal) tenían exactamente la misma representación y el espaciado no servía de ayuda en este caso. El contexto lo aclaraba y, de hecho, aunque esto parezca muy poco satisfactorio no podría haber sido considerado así por los Babilonios. ¿Cómo lo sabemos? Bien, si realmente les pareciese que el sistema presentaba ambigüedades habrían resuelto el problema: no cabe duda de que poseían las habilidades necesarias para encontrar una solución si el sistema hubiera sido impracticable. Quizá deberíamos mencionar que los Babilonios tardíos inventaron un símbolo para indicar una posición vacía, así que es posible que la carencia de un cero no fuese totalmente satisfactoria para ellos. Asimismo, una posición vacía en el interior de un número daba problemas. Aunque no es un comentario muy serio, quizá merezca la pena hacer notar que si suponemos que todos los dígitos tienen la misma probabilidad de aparecer en un número, en nuestro sistema digital hay una probabilidad entre diez de tener una posición vacía, mientras que para los Babilonios con su sistema sexagesimal esta probabilidad era de una entre sesenta. Volviendo a las posiciones vacías en el interior de un número, podemos examinar ejemplos reales en los que ocurre esto. Este es un ejemplo de una tableta cuneiforme (concretamente AO 17264 en la colección del Louvre, París) en el cual se realizan los cálculos para elevar 147 al cuadrado. En sexagesimal 147 = 2,27, y al cuadrado da 21 609 = 6,0,9. Este el ejemplo babilónico de 2,27 al cuadrado#3# Quizá el escriba dejó un poco más de espacio entre el 6 y el 9 que si estuviera representando 6,9. Y si la posición vacía resultaba problemática con los enteros, era aún peor con las fracciones babilónicas. Los babilonios usaban un sistema de fracciones sexagesimales similar a nuestras fracciones decimales. Por ejemplo, si escribimos 0,125 entonces tenemos ¹/₁₀ + ²/₁₀₀ + ⁵/₁₀₀₀ = ¹/₈. Por supuesto, una fracción de la forma ^a/_b, en su forma reducida, puede representarse como una fracción decimal finita si, y solo si, b no tiene divisores primos distintos de 2 y 5. Así, ¹/₃ no tiene fracción decimal finita. Análogamente, la fracción sexagesimal babilónica 0;7,30 representaba ⁷/₆₀ + ³⁰/₃₆₀₀, que en nuestra notación resulta también ¹/₈. Puesto que 60 es divisible por los factores primos 2, 3 y 5, una fracción de la forma ^a/_b, en su forma reducida, puede representarse como una fracción decimal finita si, y solo si, b no tiene divisores primos distintos de 2, 3 y 5. Por lo tanto hay más fracciones que pueden representarse como fracciones sexagesimales finitas que como fracciones decimales finitas. Algunos historiadores creen que esta observación influyó en que los Babilonios desarrollasen el sistema sexagesimal, en lugar del decimal, pero esto no parece probable. Si tal fuera el caso, ¿por qué no usar base 30? Más adelante discutiremos este problema con más detalle. Hemos sugerido ya la notación que utilizaremos para denotar un número sexagesimal con parte fraccionaria. Como ejemplo, 10,12,5;1,52,30 representa

10 × 60² + 12 × 60 + 5 + ¹/₆₀ + ⁵²/_60² + ³⁰/_60³

que en nuestra notación es 36725 ¹/₃₂. Esto está bien, pero hemos introducido la notación del punto y coma para indicar dónde termina la parte entera y comienza la parte decimal. Es la 'coma sexagesimal', y desempeña un papel equivalente a la coma decimal. Sin embargo, los Babilonios no tenían ninguna notación para indicar dónde terminaba la parte entera y empezaba la parte fraccionaria. Por tanto, había mucha ambigüedad y la filosofía de 'el contexto lo aclara' empieza a parecer muy precaria. Si escribo 10,12,5,1,52,30 sin notación para la 'coma sexagesimal' podría referirse a cualquiera de los siguientes números:

0;10,12, 5, 1,52,30 10;12, 5, 1,52,30 10,12; 5, 1,52,30 10,12, 5; 1,52,30 10,12, 5, 1;52,30 10,12, 5, 1,52;30 10,12, 5, 1,52,30

además de, por supuesto, 10, 12, 5, 1, 52, 30, 0 ó 0 ; 0, 10, 12, 5, 1, 52, 30 etc. Finalmente deberíamos considerar la cuestión de por qué los Babilonios usaban un sistema numérico de base 60. La respuesta sencilla es que heredaron la base 60 de los Sumerios, pero eso no sirve de nada. Sólo nos lleva a preguntar por qué los Sumerios usaban base 60. El primer comentario sería que no tenemos que seguir retrocediendo, ya que podemos estar bastante seguros de que el sistema sexagesimal se inició con los Sumerios. El segundo punto es que los matemáticos modernos no han sido los primeros en hacer esta pregunta. Theon de Alejandría intentó responder esta pregunta en el siglo IV a. de C. y muchos historiadores de las matemáticas han propuesto sus opiniones desde entonces, sin que nadie haya llegado a dar una respuesta realmente convincente. La respuesta de Theon era que 60 es el menor número divisible por 1, 2, 3, 4 y 5 de modo que se maximizaba el número de divisores. Aunque esto es cierto, parece una razón demasiado académica. Base 12 sería una candidata más probable si esta fuese la razón, pero ninguna civilización importante parece haber utilizado esta base. Por otro lado, muchas unidades de medida involucran el número 12; por ejemplo, se da frecuentemente en subdivisiones de pesos, monedas y longitudes. Por ejemplo, en las antiguas medidas británicas había doce pulgadas en un pie, doce peniques en un chelín, etc. Neugebauer propuso una teoría basada en los pesos y medidas que usaban los Sumerios. Su idea es, básicamente, que un sistema decimal se modificó a base 60 para permitir dividir los pesos y medidas en tercios. Sabemos con certeza que el sistema de pesos y medidas de los Sumerios usaba ¹/₃ y ²/3 como fracciones básicas. Sin embargo, aunque puede que Neugebauer tenga razón, el contra argumento sería que el sistema de pesos y medidas era consecuencia del sistema numérico, en lugar de al contrario. Algunas teorías se han basado en eventos astronómicos. La sugerencia de que 60 es el producto del número de meses en el año (lunas por año) por el número de planetas (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno) también parece demasiado precario como justificación de la base 60. El historiador de las matemáticas Moritz Cantor sugirió que una posible razón para usar base 60 era que se pensaba que el año tenía 360 días. Una vez más, esta idea no resulta convincente, ya que los Sumerios sabían con certeza que el año dura más de 360 días. Otra hipótesis se refiere a que el Sol recorre 720 veces su diámetro en un día, y como el día sumerio tenía 12 horas, se llega fácilmente al 60. Algunas teorías se basan en la geometría. Por ejemplo, una teoría es que el triángulo equilátero era considerado por los Sumerios el bloque constructivo geométrico fundamental. Los ángulos de un triángulo equilátero son de 60º, así que divididos en 10 partes la unidad angular básica sería de 6º. Ahora bien, hay 60 de estas unidades básicas en una circunferencia, de modo que tenemos la razón propuesta para elegir 60 como base. Pero este argumento prácticamente se contradice a sí mismo, ya que ¡presupone que la unidad básica de división es 10! Yo [EFR] opino que todas estas razones no merecen consideración seria. Quizás haya trucado un poco mi razonamiento, pero la frase que he utilizado 'elegir 60 como base' es muy significativa. Simplemente, no creo que ninguna civilización haya elegido nunca un número como base. ¿Puede imaginarse a los Sumerios formando un comité para decidir qué número usar como base? No, las cosas no ocurrieron así. La razón tiene que estar relacionada con la manera en la que se empezó a contar en la civilización sumeria, al igual que 10 fue la base en otras civilizaciones que empezaron a contar con los dedos de las manos, y veinte fue la base para los que contaban los dedos de pies y manos. He aquí una manera en la que esto podría haber sucedido: se puede contar hasta 60 usando las dos manos. En la mano izquierda cada dedo tiene tres partes (excluyendo el pulgar). Las partes están separadas por las articulaciones de los dedos. Se puede contar hasta 60 apuntando a cada una de las 12 partes de los dedos de la mano izquierda (sin contar el pulgar) con cada uno de los 5 dedos de la mano derecha. De este modo se cuenta con los dedos hasta 60 en lugar de hasta 10. ¿Convincente? Una variante de esta proposición ha sido propuesta. La teoría aparentemente más aceptada propone que la civilización sumeria debe de haber resultado de la unión de dos pueblos, uno de los cuales contaban en base 12 y el otro en base 5. Aunque 5 no es ni de lejos tan común como 10 como base entre pueblos antiguos, no es infrecuente y es utilizada por gentes que cuentan con los dedos de una mano. Esta teoría supone que después de la unión de los dos pueblos, al usarse los dos sistemas al comerciar entre sí, el sistema de base 60 surgiría de forma natural como el sistema entendido por todos. También he oído esta teoría propuesta con los dos pueblos que se mezclan que usaban bases 10 y 6. Esta versión tiene la ventaja de que hay una unidad natural para 10 en el sistema babilónico, y se podría decir que es una reminiscencia del sistema decimal anterior. Una de las ventajas de estas teorías es que es posible que se hallen pruebas documentales de los dos sistemas que se entremezclaron, lo que probaría las conjeturas. No hay que pensar en la historia como un tema muerto. Al contrario, nuestros puntos de vista cambian continuamente a medida que las últimas investigaciones aportan nuevas pruebas e interpretaciones. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía
Libros
1. A Aaboe, Episodes from the Early History of Mathematics (1964).
2. R Calinger, A conceptual history of mathematics (Upper Straddle River, N. J., 1999).
3. G Ifrah, A universal history of numbers : From prehistory to the invention of the computer (London, 1998).
4. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
5. O Neugebauer and A Sachs, Mathematical Cuneiform Texts (New Haven, CT., 1945).
6. B L van der Waerden, Science Awakening (Groningen, 1954).
7. B L van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (New York, 1983). Artículos:
8. J Hoyrup, Babylonian mathematics, in I Grattan-Guinness (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences (London, 1994), 21-29.
9. J Friberg, Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations, Historia Mathematica 8 (1981), 277-318.