Una visión de conjunto de las matemáticas egipcias

La civilización alcanzó un alto nivel en Egipto en un periodo temprano. El país estaba bien preparado para la gente, con una tierra fértil gracias al río Nilo junto con un clima favorable. Era también un país fácil de defender al tener pocos vecinos naturales que pudiesen atacarlo debido a los que desiertos que lo rodean suponían una barrera natural para las fuerzas invasoras. Como consecuencia Egipto disfrutó de largos periodos de paz en los que la sociedad avanzó rápidamente. Alrededor del 3000 a.C. dos naciones más antiguas se habían unido para formar una sola nación Egipcia bajo un solo mando. La agricultura había sido desarrollada haciendo un fuerte uso de los periodos húmedos y secos del año. El Nilo se desbordaba durante la estación lluviosa proporcionando una fértil tierra que complejos sistemas de irrigación fertilizaban para el crecimiento de los cultivos. El conocer cuándo iba a llegar la estación lluviosa era vital y el estudio de la astronomía se desarrolló para proporcionar información del calendario. La gran área cubierta por la nación egipcia requería una compleja administración, un sistema de impuestos, y los ejércitos tenían que ser mantenidos. A medida que la sociedad se hacía más compleja, se requería mantener los registros, y hacer los cálculos cuando la gente intercambiaba sus bienes. Surgió una necesidad de contar, y por tanto la escritura y los números eran necesarios para registrar las transacciones. Alrededor del 3000 a.C. los egipcios ya habían desarrollado su escritura jeroglífica (ver nuestro artículo Los números Egipcios para más información). Este hecho marca el principio del periodo del Imperio Antiguo durante el cual se construyeron las pirámides. Por ejemplo la Gran Pirámide de Gizeh fue construida alrededor del 2650 a.C. y es un notable logro de ingeniería. Esta es la indicación más clara de que la sociedad de aquel periodo había alcanzado un alto nivel de desarrollo. Los jeroglíficos para la escritura y el cálculo cedieron el paso a la escritura hierática tanto para escribir como para contar. Los detalles de los números se dan en nuestro artículo Los números Egipcios. Aquí nos interesan los métodos aritméticos que inventaron para trabajar con dichos números. Los sistemas numéricos egipcios no estaban bien preparados para los cálculos aritméticos. Aun hoy estamos familiarizados con los números romanos y por ello es fácil comprender que, aunque la suma de números romanos es bastante satisfactoria, la multiplicación y la división son esencialmente imposibles. El sistema egipcio tenía similares inconvenientes para ello que los números romanos. Sin embargo, los egipcios eran muy prácticos en su método matemático y su comercio requería que pudieran tratar con las fracciones. El comercio también requería que fuese posible la multiplicación y la división por lo que idearon métodos admirables para vencer las deficiencias en los sistemas numéricos con los que tenían que trabajar. Básicamente tuvieron que inventar métodos de multiplicación y división que sólo implicaban la suma. Los primeros números jeroglíficos pueden encontrarse en los templos, monumentos de piedra y vasijas. Aportan poca información sobre cualquier cálculo matemático que pudiera hacerse con los sistemas numéricos. Mientras que estos jeroglíficos fueron grabados en la piedra no hubo necesidad de desarrollar símbolos que pudieran ser escritos con más rapidez. Sin embargo, una vez que los egipcios comenzaron a usar hojas aplanadas de caña de papiro desecada como 'papel' y la punta de una caña como 'pluma' hubo una razón para desarrollar medios más rápidos de escritura. Esto impulsó el desarrollo de la escritura y los números hieráticos. Debe haber habido un gran número de papiros, muchos tratando sobre matemáticas de una forma u otra, pero tristemente debido a que el material es bastante frágil casi todos ellos han desaparecido. Es admirable que alguno haya sobrevivido, y el que lo hayan hecho algunos es consecuencia de las secas condiciones climáticas en Egipto. Dos documentos matemáticos importantes sobreviven. Puede ver un ejemplo de las matemáticas egipcias escrito en el papiro Rhind y otro papiro, el papiro de Moscú, con una traducción en escritura hierática. Es a partir de estos dos documentos de los que nos llega la mayor parte de nuestro conocimiento de las matemáticas egipcias y la mayor parte de la información matemática de este artículo está tomada de estos dos antiquísimos documentos. #1#El papiro Rhind se llama así por el egiptólogo escocés A. Henry Rhind, que lo compró en Luxor en 1858. El papiro, un rollo de unos 6 metros de largo y unos 33 cm. De ancho, fue escrito alrededor del 1650 a.C. por el escriba Ahmes ( o Ahmose) que hace constar que está copiando un documento que es 200 años más antiguo. El papiro original en el que se basa el papiro Rhind data por consiguiente de alrededor de 1850 a.C. El papiro de Moscú también data de esta época. Se está haciendo ahora más común llamar al papiro de Rhind como Ahmes mejor que como Rhind ya que parece mucho más justo nombrarlo por el escriba que por el hombre que lo compró comparativamente hace poco tiempo. Lo mismo no es posible, sin embargo, para el papiro de Moscú, ya que tristemente el escriba que redactó este documento no registró su nombre. Se le llama a menudo el papiro Golenischev por el hombre que lo adquirió. El papiro de Moscú está ahora en el Museo de Bellas Artes de Moscú, mientras que el pairo Rhind está en el Museo Británico en Londres. #2#El papiro Rhind contiene ochenta y siete problemas mientras que el papiro de Moscú contiene veinticinco. Los problemas son en su mayoría prácticos pero unos cuantos están planteados para enseñar la manipulación del sistema numérico mismo sin una aplicación práctica en mente. Por ejemplo los primeros seis problemas del papiro Rhind plantean cómo dividir n barras de pan entre 10 hombres donde n = 1 para el Problema 1, n = 2 para el Problema 2, n = 6 para el problema 3, n = 7 para el Problema 4, n = 8 para el Problema 5, y n = 9 para el Problema 6. Claramente están implicadas las fracciones aquí y, de hecho, 81 de los 87 problemas implican operar con fracciones. Rising, en [37], discute estos problemas de división justa de barras de pan que fueron particularmente importantes en el desarrollo de las matemáticas egipcias. Algunos problemas piden la solución de una ecuación. Por ejemplo el Problema 26: Una cantidad añadida a un cuarto de esa cantidad suman 15. ¿Cuál es esa cantidad?. Otros problemas implican series geométricas como el Problema 64: dividir 10 hekats* de cebada entre 10 hombres de forma que cada uno obtenga 1/8 de hekat más que el anterior. Algunos problemas implican a la geometría. Por ejemplo el Problema 50: un campo redondo tiene un diámetro de 9 khet**. ¿Cual es su área?. El papiro de Moscú también contiene problemas geométricos. A diferencia de los griegos que pensaban de forma abstracta sobre las ideas matemáticas, los egipcios sólo estaban preocupados por la aritmética práctica. La mayor parte de los historiadores creen que los egipcios no pensaban en los números como cantidades abstractas sino que siempre pensaban en un conjunto de 8 objetos cuando se citaba el 8. Para superar las deficiencias de su sistema de números los egipcios inventaron astutas formas de esquivar el hecho de que sus números estaban poco preparados para la multiplicación como se muestra en el papiro Rhind. Examinamos en detalle las matemáticas contenidas en los papiros egipcios en el artículo Las matemáticas en los papiros egipcios. En este artículo examinamos a continuación algunas afirmaciones referentes a las constantes matemáticas usadas en la construcción de las pirámides, en particular la Gran Pirámide de Gizeh que, como señalábamos arriba, fue construida alrededor del 2650 a.C. Joseph [8] y muchos otros autores dan algunas de las medidas de la Gran Pirámide que hacen creer a alguna gente que fue construida con ciertas constantes matemáticas en mente. El ángulo entre la base y una de sus caras es de 51° 50' 35''. La secante de este ángulo es 1.61806 que es asombrosamente cercana a la razón áurea 1.618034. No es que nadie crea que los egipcios conocían la función secante, pero ésta es por supuesto sólo la razón de la altura de la cara inclinada y la mitad de la longitud del lado de la base cuadrada. Por otra parte la cotangente del ángulo de pendiente de 51° 50' 35'' está muy cercana a π/4. De nuevo por supuesto nadie cree que los egipcios hubiesen inventado la cotangente, pero de nuevo es la proporción de los lados que se cree que fue hecha para encajar en este número. Ahora el lector atento habrá comprendido que debe haber algún tipo de relación entre la razón áurea y π para que estas afirmaciones sean al menos numéricamente precisas. De hecho hay una coincidencia numérica: la raíz cuadrada de la razón áurea por π es casi 4, de hecho este producto es 3.996168. En [38] Robins acomete tanto contra la razón áurea o π implicadas deliberadamente en la construcción de la pirámide. Afirma que la razón de la altura vertical con la distancia horizontal fue elegida para ser de 5 ¹/₂ a 7 y el hecho de que ¹¹/₁₄ x 4 = 3.1428 y esté próximo a π no es más que una coincidencia. De manera similar Robins afirma que ciertas construcciones fueron hechas de forma que el triángulo que formaban la base, la altura y altura de la pendiente era un triángulo 3, 4, 5. Ciertamente parecería más probable que los ingenieros usaran el conocimiento matemático para construir ángulos rectos que los construyeran en razones conectadas con la razón áurea y π. Finalmente examinamos algunos detalles del primitivo calendario egipcio. Como mencionamos antes, era importante para los egipcios saber cuándo crecería el Nilo y esto requería cálculos del calendario. El inicio del año era elegido por el ascenso heliaco*** de Sirio, la estrella más brillante en el cielo. El ascenso heliaco es la primera aparición de la estrella tras el periodo en el que está demasiado cercana al Sol para ser vista. Para Sirio esto ocurre en Julio y fue tomado como el inicio del año. El Nilo crecía poco después de esto por lo que era un inicio natural para el año. El ascenso heliaco de Sirio diría a la gente que se preparase para las inundaciones. El año se computaba con 365 días y esto se sabía con certeza desde el 2776 a.C. y este valor fue usado para un calendario civil para las fechas de empadronamiento. Más tarde un valor más preciso de 365 1/4 fue calculado para la longitud del año pero el calendario civil nunca fue cambiado para tener esto en cuenta. De hecho dos calendarios funcionaban en paralelo, el que se usaba para propósitos prácticos de siembra de cultivos, cosecha etc. que se basaba en el mes lunar. Con el tiempo el año civil se dividió en 12 meses, con un periodo extra de 5 días al final del año. El calendario egipcio, aunque ha cambiado mucho a lo largo del tiempo, fue la base para los calendarios Juliano y Gregoriano. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive Referencias 8. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991). 37. G R Rising, The Egyptian use of unit fractions for equitable distribution, Historia Math. 1 (1) (1974), 93-94. 38. G Robins and C C D Shute, Mathematical bases of ancient Egyptian architecture and graphic art, Historia Math. 12 (2) (1985), 107-122. Más referencias bibliográficas (43 libros/artículos) Otros sitios web:

1. Don Allen (Egyptian mathematics)
2. David Eppstein (Egyptian Fractions)
3. Brent Byars
4. R Knott

Notas del Traductor *Hekat: Medida de volumen para el trigo, la cebada, o los granos en general, la cual tenía una equivalencia de 5,03 litros. Ver ArqueoEgipto **El 'khet' era un múltiplo del codo equivalente a 100 codos reales, equivalentes a 52,3 m. El 'setat' es la unidad fundamental de superficie equivalente a un cuadrado de 1 'khet' de lado, equivalía aproximadamente a un cuadrado de tierra de unos 52 metros de lado. Ver http://www.personal.us.es/cmaza/egipto/aritmetica2.htm ***heliaco: adjetivo ASTRONOMÍA: Se aplica al orto u ocaso de un astro que sale o se pone una hora antes o después que el Sol. TAMBIÉN helíaco