Una vista de conjunto de las matemáticas babilonias

Los babilonios vivían en Mesopotamia, una fértil llanura entre los ríos Tigris y Éufrates. #1# La región había sido el centro de la civilización sumeria que nació antes de 3500 a. C. Se trataba de una civilización avanzada que construía ciudades y disponía de sistemas de irrigación, administración e incluso un servicio postal. Desarrollaron la escritura y contaban según un sistema sexagesimal, es decir, en base 60. Alrededor de 2300 a. C. los Acadios invadieron la zona y durante algún tiempo la cultura más atrasada de los Acadios se mezcló con la más avanzada de los Sumerios. Los Acadios inventaron el ábaco, una herramienta para contar, y desarrollaron métodos aritméticos un tanto torpes que incluían sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Los Sumerios sin embargo se rebelaron contra el gobierno de los Acadios y alrededor de 1900 a.C. detentaban de nuevo el poder. Sin embargo la civilización babilonia, cuyas matemáticas son el objeto de este artículo, reemplazó a la sumeria desde más o menos el 2000 a.C. Los Babilonios eran un pueblo semítico que invadió Mesopotamia, derrotando a los Sumerios y estableciendo su capital en Babilonia alrededor de 1900 a.C. Los Sumerios habían desarrollado una forma abstracta de escritura basada en símbolos cuneiformes (i.e., con forma de cuña). Estos símbolos se escribían sobre tabletas de arcilla húmeda que se cocían al sol; miles de estas tabletas han sobrevivido hasta nuestros días. El uso de un punzón sobre las tabletas de arcilla fue lo que desembocó en el uso de los símbolos cuneiformes, ya que no se podía dibujar líneas curvas. Los Babilonios posteriormente adoptaron el mismo estilo de escritura cuneiforme en tabletas de arcilla. #2# Muchas de estas tabletas versan sobre temas que, aunque no contienen matemáticas profundas, son de todos modos fascinantes. Por ejemplo, mencionamos anteriormente los sistemas de irrigación de las primeras civilizaciones mesopotámicas. Se habla de ellas en [40], donde Muroi escribe:

Cavar y mantener los canales era una tarea importante para los gobernantes de Mesopotamia, porque los canales no sólo eran necesarios para la irrigación, sino que también servían para el transporte de mercancías y ejércitos. Los gobernantes, o altos cargos gubernamentales, deben de haber ordenado a los matemáticos babilonios calcular el número de trabajadores y días necesarios para la construcción de un canal, y calcular el gasto total en salarios de los trabajadores. Hay varios textos matemáticos de la Antigua Babilonia en los que se piden diversas cantidades relacionadas con la excavación de un canal. Son las YBC 4666, 7164 y VAT 7528, todas ellas escritas en Sumerio ..., y YBC 9874 y BM 85196, Núm. 15, que están escritas en Acadio ... . Desde el punto de vista matemático estos problemas son relativamente simples ...

Los babilonios tenían un sistema numérico avanzado, en algunos aspectos más avanzado aún que nuestros sistemas actuales. Era un sistema posicional en base 60, en lugar de base 10, que es lo habitual en la actualidad. Para más detalles sobre los numerales babilonios, y también para una discusión sobre las teorías sobre por qué usaban base 60, vea nuestro artículo sobre los numerales babilonios. Los Babilonios dividían el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido durante 4 000 años. Escribir 5h 25' 30', es decir, 5 horas, 25 minutos, 30 segundos, es equivalente a escribir la fracción sexagesimal 5 ²⁵/₆₀ ³⁰/₃₆₀₀. Adoptamos la notación 5;25,30 para este número sexagesimal; para más detalles sobre esta notación vea nuestro artículo sobre numerales babilonios. En base 10, el número sexagesimal 5;25,30 es 5 ⁴/₁₀ ²/₁₀₀ ⁵/₁₀₀₀, que se escribe 5,425 en notación decimal. Quizá el aspecto más sorprendente de las avanzadas habilidades de cálculo babilonias era la construcción de tablas para facilitar el cálculo. Dos tabletas halladas en Senkerah en el Éufrates en 1854 datan de 2000 a. C. proporcionan los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos de los números hasta el 32. La tableta da 8² =1,4, lo que significa 8² = 1,4 = 1×60 + 4 = 64 y así hasta 59² = 58,1 (= 58×60 + 1 = 3481). Los Babilonios usaban la fórmula ab = [(a+b)² - a² - b²]/2 para facilitar la multiplicación. Aún mejor es esta fórmula ab = [(a+b)² - (a-b)²]/4 que muestra que la tabla de cuadrados es todo lo necesario para multiplicar números, simplemente restando dos cuadrados mirados en las tablas y tomando un cuarto del resultado. La división es un proceso más complicado. Los Babilonios no tenían ningún algoritmo para la división larga. En lugar de ello basaban su método en el hecho de que a/b = a × (1/b) de modo que todo sólo era necesaria una tabla de inversos. Aún tenemos sus tablas de inversos que alcanzan números hasta varios miles de millones. Por supuesto, estas tablas están escritas con sus numerales, pero usando la notación sexagesimal que introdujimos anteriormente el principio de una de estas tablas sería:

2	0; 30
3	0; 20
4	0; 15
5	0; 12
6	0; 10
8	0; 7, 30
9	0; 6, 40
10	0; 6
12	0; 5
15	0; 4
16	0; 3, 45
18	0; 3, 20
20	0; 3
24	0; 2, 30
25	0; 2, 24
27	0; 2, 13, 20

Ahora bien, la tabla tiene huecos ya que ¹/₇, ¹/₁₁, ¹/₁₃, etc. no son fracciones finitas en base 60. Esto no significa que los Babilonios no pudieran calcular, por ejemplo, ¹/₁₃. Escribirían: ¹/₁₃ = ⁷/₉₁ = 7×( ¹/₉₁) =(aprox.) 7×( ¹/₉₀) y estos valores, por ejemplo ¹/₉₀, se dan en las tablas. De hecho, hay fascinantes ejemplos de cómo los Babilonios trataban con el hecho de que la división entre 7 llevaría a una fracción sexagesimal infinita. Un escriba daría un número aproximado a ¹/₇ y después escribiría una frase como (ver por ejemplo [5]):

... se da una aproximación ya que 7 no divide.

Los matemáticos babilonios fueron mucho más allá de las operaciones aritméticas. En nuestro artículo sobre El teorema de Pitágoras en la matemática babilonica examinamos algunas de sus ideas sobre geometría y también algunas ideas básicas sobre teoría de números. En este artículo examinamos ahora parte del álgebra desarrollada por los Babilonios, en particular problemas que llevaron a las ecuaciones y su solución. Indicamos anteriormente que los Babilonios eran famosos como constructores de tablas. Ahora bien, estas podrían usarse para resolver ecuaciones. Por ejemplo, construyeron tablas para n³ + n²; con la ayuda de estas tablas se podían resolver algunas ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, considérese la ecuación ax³ + bx² = c Hay que enfatizar de inmediato que estamos usando notación moderna y que en los tiempos babilónicos no existía nada parecido a una representación simbólica. Sin embargo los Babilonios podían manejar ejemplos numéricos de ecuaciones como estas usando reglas que indican que tenían el concepto de un problema tipo determinado y un método tipo para resolverlo. Por ejemplo, en el caso anterior (usando nuestra notación) multiplicarían la ecuación por a² y la dividirían por b² para obtener (a×/b)³ + (ax/b)² = ca²/b³. Tomando y = ax/b se obtiene la ecuación y³ + y² = ca²/b³ que podría resolverse buscando en la tabla de n³ + n² el valor de n que satisface n³ + n² = ca²/b³. Una vez hallada la solución para y, se hallaba la x haciendo x = by/a. Hacemos de nuevo hincapié en que todo esto se hacía sin notación algebraica, mostrando una comprensión de notable profundidad. Una vez más, mirarían una tabla para resolver la ecuación lineal ax=b. Consultarían la tabla de 1/n para hallar 1/a y después multiplicar el número sexagesimal obtenido en la tabla por b. Un ejemplo de un problema de este tipo es el siguiente. Supongamos, escribe un escriba, que tomamos 2/3 de 2/3 de una cierta cantidad de cebada, se añaden 100 unidades de cebada y se restaura la cantidad original. El problema propuesto por el escriba consiste en hallar la cantidad de cebada. La solución dada por el escriba consiste en calcular 0;40 por 0;40 para obtener 0;26,40. Restar esto de 1;00 para obtener 0;33,20. Buscar el inverso de 0;33,20 en una tabla, lo que resulta en 1;48. Multiplicar 1;48 por 1,40 para obtener la respuesta 3,0. No es tan fácil entender estos cálculos del escriba a menos que los traduzcamos a la notación algebraica moderna. Tenemos que resolver (2/3 × 2/3)x + 100 = x que es, como sabía el escriba, equivalente a resolver (1 - ⁴/₉)x = 100. Por eso el escriba calcula ²/₃ × ²/₃ y sustrae el resultado de 1 para obtener (1 - ⁴/₉); luego busca 1/(1 - ⁴/₉) y resuelve x multiplicando 1/(1 - ⁴/₉) por 100 para dar 180 (que es 1;48 por 1,40, que da 3,0 en sexagesimal). Para resolver una ecuación cuadrática los Babilonios básicamente usaban la fórmula estándar. Consideraban dos tipos de ecuaciones cuadráticas, a saber: x² + bx = c y x² - bx = c donde b, c son positivos, pero no necesariamente enteros. La forma de sus soluciones eran, respectivamente x = √[(b/2)² + c] - (b/2) y x = √[(b/2)² + c] + (b/2). Hay que notar que en cada caso se da la raíz positiva de las dos raíces de la ecuación cuadrática, que es la que tendría sentido en la resolución de problemas 'reales'. Por ejemplo, los problemas que llevaban a los Babilonios a estas ecuaciones a menudo se referían al área de un rectángulo. Por ejemplo si se da el área y la cantidad en que la longitud supera al ancho, entonces el ancho cumple una ecuación cuadrática, y aplicarían la primera versión de la fórmula descrita anteriormente. Un problema de una tableta de la época de la Antigua Babilonia afirma que el área de un rectángulo es 1,0 y que su longitud supera a su ancho por 7. La ecuación x² + 7x = 1,0 por supuesto, no viene dada por el escriba, quien halla la solución de la siguiente manera: Calcula la mitad de 7, es decir 3;30, lo eleva al cuadrado para obtener 12;15. A esto el escriba suma 1,0 para obtener 1,12;15. Halla su raíz cuadrada a partir de una tabla de cuadrados, obteniendo 8;30. De esto resta 3;30, obteniendo 5 para el ancho del rectángulo. El escriba ha resuelto en efecto una ecuación del tipo x² + bx = c usando x = √[(b/2)² + c] - (b/2). En [10] Berriman da 13 ejemplos típicos de problemas procedentes de tabletas de la Antigua Babilonia que llevan a ecuaciones cuadráticas. Si los problemas relacionados con el área de los rectángulos llevan a ecuaciones cuadráticas, entonces los problemas relacionados con el volumen de una excavación rectangular (un 'sótano') llevan a ecuaciones cúbicas. La tableta de arcilla BM 85200+, que contiene 36 problemas de este tipo, es el primer intento conocido de plantear y resolver ecuaciones cúbicas. Hoyrup analiza esta fascinante tableta en [26]. Por supuesto, los Babilonios no llegaron a descubrir una fórmula genérica para resolver ecuaciones cúbicas. Esta no se encontraría hasta bastante después de otros tres mil años. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía
5. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
10. A E Berriman, The Babylonian quadratic equation, Math. Gaz. 40 (1956), 185-192.
26. J Hoyrup, The Babylonian cellar text BM 85200+ VAT 6599. Retranslation and analysis, Amphora (Basel, 1992), 315-358.
40. K Muroi, Small canal problems of Babylonian mathematics, Historia Sci. (2) 1 (3) (1992), 173-180. Más referencias bibliográficas (50 libros/artículos)