Historia de las matemáticas jainistas

En cierto modo comenzó a reemplazar las religiones védicas, las cuales, con sus procedimientos expiatorios, habían dado desarrollo a las matemáticas de la construcción de altares. Las matemáticas de las religiones védicas se hallan descritas en el artículo 'Los Sulbasutras de la India'. Ahora podríamos usar el término matemáticas jainistas para describir las matemáticas hechas por aquellos seguidores del Jainismo y en efecto esto haría referencia a una parte de las matemáticas hechas en el subcontinente Indio desde la fundación del Jainismo hasta la era moderna. Verdaderamente esto es justo y algunos artículos en las referencias aluden a matemáticas realmente modernas. Por ejemplo en [16] Jha echa un vistazo a las contribuciones de los jainistas desde el siglo V a.C. hasta el siglo XVIII d.C. Este artículo se centrará en el período posterior a la fundación del Jainismo alrededor de la época de Aryabhata hacia el 500 d. C. La razón para elegir este intervalo de tiempo es que hasta hace poco se pensaba que esta fue una época en la que hubo poca actividad matemática en India. El trabajo de Aryabhata fue visto como el comienzo de un nuevo periodo clásico para las matemáticas indias y esto es verdaderamente razonable. Sin embargo Aryabhata no trabajó en soledad matemática y además de ser visto como la persona que trajo una nueva era de investigación matemática en la India, investigaciones más recientes han mostrado que hay evidencia para verle también como la representación del producto final de un periodo matemático del que se sabe relativamente poco. Este es el periodo al que nos referiremos como el periodo de las matemáticas jainistas. Hubo textos matemáticos de este periodo aunque han recibido poca atención por parte de los historiadores hasta épocas recientes. Textos, tales como el Surya Prajnapti, que se cree que es de alrededor del siglo IV a.C., y el Jambudvipa Prajnapti de alrededor del mismo periodo, han recibido atención a través del estudio de comentarios posteriores. El Bhagabati Sutra data de alrededor del 300 a.C. y contiene información interesante sobre combinaciones. Más o menos del siglo II a.C. es el Sthananga Sutra particularmente interesante en el sentido de que lista los temas que conformaban las matemáticas estudiadas en la época. De hecho esta lista de temas establece las bases para las áreas de estudio a figurar durante largo tiempo en el subcontinente Indio. Los temas se encuentran listados en [2] como:

[...] la teoría de los números, operaciones aritméticas, geometría, operaciones con fracciones, ecuaciones simples, ecuaciones cúbicas, ecuaciones cuárticas y permutaciones y combinaciones.

Las ideas sobre el infinito matemático en las matemáticas jainistas son realmente muy interesantes y evolucionan debido a las ideas cosmológicas del Jainismo. En la cosmología jainista se cree que el tiempo es eterno y sin forma. El mundo es infinito, nunca fue creado y siempre ha existido. El espacio lo invade todo y no tiene forma. Todos los objetos del universo existen en el espacio, el cual está dividido entre el espacio del universo y el espacio del no-universo. Hay una región central del universo en la cual todos los seres vivos, incluyendo los hombres, animales, dioses y demonios, viven. Sobre esta región central se encuentra el mundo superior dividido a su vez en dos partes. Bajo la región central está el mundo inferior dividido en siete pisos. Esto condujo al trabajo descrito en [3] sobre un tema matemático en la producción jainista, Tiloyapannatti por Yativrsabha. Un círculo es dividido por líneas paralelas en regiones de anchuras establecidas. Las longitudes de las cuerdas límite y las áreas de las regiones son dadas, basándose en reglas fijas. Esta cosmología ha influido con gran fuerza en las matemáticas jainistas de muchas formas y ha sido un factor motivador en el desarrollo de las ideas matemáticas del infinito que no volvieron a ser consideradas de nuevo hasta la época de Cantor. La cosmología jainista contenía un periodo de tiempo de 2⁵⁸⁸ años. ¡Fíjese que 2⁵⁸⁸ es un número muy grande!

2⁵⁸⁸ = 1013 065324 433836 171511 818326 096474 890383 898005 918563 696288 002277 756507 034036 354527 929615 978746 851512 277392 062160 962106 733983 191180 520452 956027 069051 297354 415786 421338 721071 661056.

Así que, ¿cuáles son las ideas sobre el infinito del Jainismo? Hubo una fascinación con los números altos en el pensamiento indio a través de un largo periodo de tiempo y esto, de nuevo, les obligó a considerar medidas infinitamente grandes. El primer punto que merece la pena resaltar es que tenían distintas medidas infinitas las cuales no definían de modo rigurosamente matemático y que, sin embargo, son bastante sofisticadas. El artículo [6] describe la forma en la que fue construido el primer número no numerable usando con efectividad una construcción recursiva. La construcción jainista comienza con un contenedor cilíndrico de radio muy grande r^q (tomado como el radio de la Tierra) y con una altura dada h. El número n^q= &fnof(r^q) es el número de las diminutas semillas de mostaza que se pueden poner en este contenedor. Después, r₁ = g(r^q) se define mediante un complejo subproceso recursivo y entonces, como anteriormente, se define un nuevo número grande n₁ =ƒ( r₁). El texto Anuyoga Dwara Sutra enuncia:

El número numerable más alto aún no ha sido obtenido.

Se repite todo el proceso, produciendo un número verdaderamente enorme al que se llama “jaghanya-parita-asamkhyata”', que quiere decir, “no numerable de bajo orden incrementado'. La continuación del proceso da el número no numerable más pequeño. Las matemáticas jainistas reconocían cinco tipos diferentes de infinito [2]:

[...] infinito en una dirección, infinito en dos direcciones, infinito en área, infinito por todas partes y perpetuamente infinito.

El Anuyoga Dwara Sutra contiene otras notables especulaciones numéricas hechas por los jainistas. Por ejemplo, varias veces en la obra, el número de seres humanos que han existido alguna vez se da como 2⁹⁶. En el segundo siglo de nuestra era el jainismo había producido una teoría de conjuntos. En Satkhandagama se hacen operaciones sobre conjuntos usando funciones logarítmicas en base dos, mediante la elevación al cuadrado y la extracción de raíces cuadradas y elevando a potencias finitas o infinitas. Las operaciones se repiten para producir nuevos conjuntos. Se usan permutaciones y combinaciones en el Sthananga Sutra. En el Bhagabati Sutra se dan reglas para el número de permutaciones de 1 [objeto] seleccionado de entre n, 2 en n y 3 en n. Se dan reglas similares para el número de combinaciones de 1 en n, 2 en n y 3 en n. Las cifras se calculan en los casos en los que n = 2, 3 y 4. Después el autor dice que uno puede computar las cifras del mismo modo para una nmayor. Escribe:

De este modo, 5, 6, 7, ..., 10, etc. o un número numerable, no numerable o infinito, puede ser especificado. Tomando uno a la vez, dos a la vez, ..., diez a la vez, conforme se forman las combinaciones, todas deben ser calculadas.

Aquí también es interesante la sugerencia de que la aritmética puede ser extendida a varios números infinitos. En otras obras se advertía la relación del número de combinaciones con los coeficientes que se dan en la expansión binomial. En un comentario de esta obra del siglo tercero en el siglo décimo, el triángulo de Pascal aparece para dar los coeficientes de la expansión binomial. Otro concepto a cuya comprensión los jainistas parecen haberse aproximado al menos de algún modo fue el del logaritmo. Comenzaron a entender las leyes de índices. Por ejemplo, el Anuyoga Dwara Sutra enuncia:

La primera raíz cuadrada multiplicada por la segunda raíz cuadrada es el cubo de la segunda raíz cuadrada.

La segunda raíz cuadrada era la raíz cuarta de un número. Por lo tanto esta es la fórmula:

(√a)·(√√a) = (√ √a)³

De nuevo, el Anuyoga Dwara Sutra dice:

[...] la segunda raíz cuadrada multiplicada por la tercera raíz cuadrada es el cubo de la tercera raíz cuadrada.

La tercera raíz cuadrada era la raíz octava de un número. Esta es por lo tanto la fórmula

(√ √a)·(√√√a) = (√√ √a)³

Algunos historiadores dedicados al estudio de estas obras creen ver evidencias de que los jainistas habrían desarrollado logaritmos en base 2. El valor de π en las matemáticas jainistas ha sido el objeto de un número de artículos de investigación, vea por ejemplo [4], [5], [7] y [17]. Como con mucha de la investigación sobre matemáticas indias existe un interés en saber si estos tomaron sus ideas de los griegos. La aproximación π = √10 parece una frecuentemente usada por los jainistas. Para finalizar vamos a comentar sobre la astronomía jainista. No estaba muy avanzada. No fue sino hasta las obras de Aryabhata que las ideas griegas de los epiciclos se introdujeron en la astronomía india. La escuela jainista suponía la existencia de dos demonios Rahu, el Dhruva Rahu, que produce las fases de la Luna, y el Parva Rahu, que tiene un movimiento celeste irregular en todas direcciones y causa un eclipse cubriendo la Luna, el Sol, o su luz. El autor de [23] señala que, de acuerdo con la escuela jainista, el mayor número de eclipses posibles en un año es cuatro. A pesar de esto, algunas de las mediciones astronómicas eran bastante buenas. La información en el Surya Prajnapti involucra un mes lunar sinódico igual a 29 más ¹⁶/₃₁ días; siendo el valor correcto casi 29.5305888. Ha habido un considerable interés en examinar la información presentada en estos textos jainistas para ver si esta información se originaba en otras fuentes. Por ejemplo en el Surya Prajnapti existe información que da a entender una razón de 3:2 de la máxima a la mínima duración de la luz solar. Ahora esto no es correcto para India pero sí lo es para Babilonia, lo cual hace que algunos historiadores crean que la información del Surya Prajnapti no es originariamente de la India sino de Babilonia. Sin embargo, en [22] Sharma y Lishk presentan una hipótesis alternativa que admitiría que la información fuese de origen indio. Uno debe decir que su sugerencia de que 3:2 podría ser la razón de las cantidades de agua a verter en un reloj de agua en los días más largo y más corto no parece totalmente convincente. Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive Bibliografía

2. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
3. R C Gupta, Chords and areas of Jambudvipa regions in Jaina cosmography, Ganita Bharati 9 (1-4) (1987), no. 1-4, 51-53.
4. R C Gupta, Madhavacandra's and other octagonal derivations of the Jaina value π = √10, Indian J. Hist. Sci. 21 (2) (1986), 131-139.
5. R C Gupta, On some rules from Jaina mathematics, Ganita Bharati 11 (1-4) (1989), 18-26.
6. R C Gupta, The first unenumerable number in Jaina mathematics, Ganita Bharati 14 (1-4) (1992), 11-24.
7. R C Gupta, Circumference of the Jambudvipa in Jaina cosmography, Indian J. History Sci. 10 (1) (1975), 38-46.
16. P Jha, Contributions of the Jainas to astronomy and mathematics, Math. Ed. (Siwan) 18 (3) (1984), 98-107.
17. S K Jha and M Jha, A study of the value of p known to ancient Hindu & Jaina mathematicians, J. Bihar Math. Soc. 13 (1990), 38-44.
22. S D Sharma, and S S Lishk, Length of the day in Jaina astronomy, Centaurus 22 (3) (1978/79), 165-176.
23. J C Sikdar, Eclipses of the Sun and Moon according to Jaina astronomy, in Proceedings of the Symposium on the 1500th Birth Anniversary of Aryabhata I, New Delhi, 1976, Indian J. Hist. Sci. 12 (2) (1977), 127-136.

Más referencias bibliográficas

(23 libros/artículos)